Dois semiplanos são bissetores de dois diedros adjacentes e complementares. Quanto mede o diedro por eles formado?
Passo 1
Vamos desenrolar a questão: temos dois diedros adjacentes e complementares, ou seja, o primeiro diedro é formado pelos planos π₁ e π₂ com medida α, o segundo pelos planos π₂ e π₃ com medida β, e α + β = 90°. O que queremos é a medida do diedro determinado pelos semiplanos bissetores desses dois diedros.
Passo 2
Para cada diedro, o semiplano bissetor faz, por definição, metade do ângulo entre os dois planos que o formam. Logo, o bissetor do diedro α forma um ângulo de α/2 em relação a cada um dos planos π₁ e π₂; analogamente, o bissetor do diedro β forma um ângulo de β/2 em relação a π₂ e π₃.
Passo 3
Agora, para encontrar o diedro entre esses dois semiplanos bissetores, basta notar que um bissetor parte de π₂ em direção a π₁ a uma distância angular de α/2, e o outro parte de π₂ em direção a π₃ a uma distância angular de β/2. A “distância” angular entre eles é então α/2 + β/2.
Passo 4
Como α + β = 90°, concluímos que o diedro buscado mede
Resposta
45°