Dois semiplanos são bissetores de dois diedros adjacentes e complementares. Quanto mede o diedro por eles formado?

Passo 1

Vamos desenrolar a questão: temos dois diedros adjacentes e complementares, ou seja, o primeiro diedro é formado pelos planos π₁ e π₂ com medida α, o segundo pelos planos π₂ e π₃ com medida β, e α + β = 90°. O que queremos é a medida do diedro determinado pelos semiplanos bissetores desses dois diedros.

Passo 2

Para cada diedro, o semiplano bissetor faz, por definição, metade do ângulo entre os dois planos que o formam. Logo, o bissetor do diedro α forma um ângulo de α/2 em relação a cada um dos planos π₁ e π₂; analogamente, o bissetor do diedro β forma um ângulo de β/2 em relação a π₂ e π₃.

Passo 3

Agora, para encontrar o diedro entre esses dois semiplanos bissetores, basta notar que um bissetor parte de π₂ em direção a π₁ a uma distância angular de α/2, e o outro parte de π₂ em direção a π₃ a uma distância angular de β/2. A “distância” angular entre eles é então α/2 + β/2.

Passo 4

Como α + β = 90°, concluímos que o diedro buscado mede
α + β2 = 90°2 = 45°

Resposta

45°

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