Quantos são os planos determinados por quatro pontos distintos dois a dois?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos são os planos determinados por quatro pontos distintos dois a dois?”
Informações dadas (peguei do enunciado):
  • Há quatro pontos distintos (ou seja, nenhum par de pontos coincide).
  • A pergunta é quantos planos distintos podem ser “determinados” por esses pontos.
Observação importante (não vou resolver ainda): o número de planos pode depender da posição relativa dos pontos (se estão todos numa mesma reta, todos num mesmo plano, ou não estão todos coplanares). Vou analisar essas diferentes configurações nos passos seguintes.

Passo 2

Conceitos-chave que vamos usar (explicados com calma):
  1. Três pontos não colineares determinam um único plano.
    • Isso significa: se A,B,C são três pontos que não estão todos sobre a mesma reta, então existe exatamente um plano que passa por A,B,C. Esse é um fato geométrico básico: dados três pontos que não estão alinhados, existe e só existe um plano que contém os três.
  2. Três pontos colineares (ou seja, todos sobre a mesma reta) não determinam um plano único.
    • Se A,B,C estão sobre a mesma reta r, então qualquer plano que contenha essa reta r passa por A,B,C. Como há infinitos planos que contêm uma mesma reta, três pontos colineares não definem um único plano.
  3. Dois pontos determinam uma reta; um ponto e uma reta não contida nele determinam (outra vez) um plano único.
    • Se há uma reta r e um ponto D que não está em r, então existe exatamente um plano que contém r e D.
Esses itens bastam para contar quantos planos diferentes podem ser obtidos a partir de subconjuntos de três dos quatro pontos.

Passo 3

Caso “posicionamento geral” — os quatro pontos não são coplanares (ou seja, não existem todos em um mesmo plano).
  • Primeiro observar: se três pontos fossem colineares, então, como qualquer ponto quarto determina um plano com essa reta, os quatro pontos seriam coplanares (pois existe um plano que contém a reta e o quarto ponto). Logo, quando os quatro NÃO são coplanares, necessariamente não há três colineares.
  • Assim, todo subconjunto de três pontos (há \binom{4}{3} tais subconjuntos) é formado por três pontos não colineares e cada um desses subconjuntos determina um plano único.
  • Contagem: \displaystyle \binom{4}{3}=4.
  • Conclusão deste caso: existem 4 planos distintos.

Passo 4

Caso “todos os quatro pontos estão num mesmo plano” (os quatro são coplanares) mas não estão todos sobre a mesma reta.
  • Se todos estão no mesmo plano P, então qualquer subconjunto de três pontos que não seja colinear determina o mesmo plano P. Mesmo se existir alguma tripla colinear, ainda existe pelo menos um plano que contém todos os quatro (no caso de três colineares + quarto ponto, o plano que contém a reta e o quarto ponto é único).
  • Portanto, independente da existência ou não de triplas colineares, desde que todos os quatro pertençam a um único plano, o conjunto inteiro está contido em exatamente 1 plano.
  • Conclusão deste caso: existe 1 plano que contém os quatro pontos.

Passo 5

Caso “todos os quatro pontos estão sobre a mesma reta” (os quatro são colineares).
  • Se todos os pontos estão na mesma reta r, então qualquer plano que contenha r conterá todos os quatro pontos. E há infinitos planos contendo uma mesma reta.
  • Assim, nesse caso há infinitos planos que contêm os quatro pontos.
  • Conclusão deste caso: existem infinitos planos (escrevemos \infty).

Passo 6

Resumo das situações (para fixar a ideia com exemplos rápidos, sem cálculos):
  • Exemplo para 4 planos: pense em quatro vértices de um tetraedro no espaço — cada face (tripla de vértices) está em um plano diferente → 4 planos.
  • Exemplo para 1 plano: pense em quatro pontos que estão num mesmo pedaço de papel — todos pertencem ao mesmo plano do papel → 1 plano.
  • Exemplo para \infty: pense em quatro pontos alinhados sobre um fio esticado — qualquer folha que contenha o fio serve, há infinitas folhas → \infty planos.

Resposta

Se os quatro pontos não forem coplanares: 4.
Se os quatro pontos forem coplanares, mas não todos colineares: 1.
Se os quatro pontos forem colineares (todos sobre a mesma reta): \infty.

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