Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método da Eq. Auxiliar.
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=0
As perguntas são:
  1. Classificar a EDO (que tipo de equação é).
  2. Verificar (isto é, mostrar a solução obtida realmente satisfaz a equação).
  3. Determinar a solução geral aplicando o método da equação auxiliar.
    Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: coeficientes numéricos são 1, 3 e 2; o lado direito é 0 (homogênea); trata-se de uma EDO de segunda ordem (aparece y^{\prime\prime}).

Passo 2

Explico o que significa classificar essa EDO, passo a passo e de forma didática:
  • Ordem: é a maior derivada presente; aqui a maior derivada é y^{\prime\prime}, então é uma EDO de ordem 2.
  • Linearidade: uma EDO é linear se y, y', y'', … aparecem só de forma linear (coeficientes multiplicando cada derivada, sem produtos entre y e suas derivadas nem funções não-lineares de y). Aqui temos y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y, que é linear.
  • Homogeneidade: é homogênea se o lado direito é 0. Aqui é 0, portanto homogênea.
  • Coeficientes constantes: os números que multiplicam y, y', y'' são constantes (não dependem de x); aqui são 1, 3 e 2, logo constantes.
Conclusão da classificação (resumindo): é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Apresento o método da equação auxiliar (característica) de forma didática:
  • Ideia: tentar uma solução da forma \displaystyle y(x)=e^{rx}, onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Essa escolha é natural porque derivadas de e^{rx} produzem o mesmo expoente multiplicado por r, facilitando a transformação da EDO numa equação algébrica para r.
  • Cálculo das derivadas: se y=e^{rx} então
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx}.
  • Substituindo na equação original e fatorando e^{rx} (que nunca é zero) obtemos a equação algébrica chamada equação auxiliar:
r^2 + 3r + 2 = 0.
Aqui r é a incógnita dessa equação quadrática. Explico: r^2 vem de y'', 3r vem de 3y' e 2 vem de 2y, com o fator comum e^{rx} cancelado.

Passo 4

Resolver a equação auxiliar:
r^2+3r+2=0.
Podemos fatorar a quadrática (procure dois números que multiplicam para 2 e somam para 3): esses números são 1 e 2. Assim
r^2+3r+2=(r+1)(r+2).
Portanto as raízes são
r=-1\quad\text{e}\quad r=-2.
Como são duas raízes reais distintas, isso indica a forma da solução geral que vamos usar no próximo passo.

Passo 5

Regra para raízes reais distintas: se a equação auxiliar tiver duas raízes reais distintas r_1 e r_2, então duas soluções independentes da EDO são e^{r_1 x} e e^{r_2 x}, e a solução geral da EDO homogênea é a combinação linear
y(x)=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Justificativa curta e intuitiva: exponenciais com expoentes diferentes são funções linearmente independentes, então suas combinações lineares cobrem todas as soluções da EDO linear homogênea de segunda ordem.
No nosso caso r_1=-1 e r_2=-2, então
y(x)=C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 6

Verificação direta (mostrar que a solução satisfaz a EDO):
  • Começo de y(x)=C_1 e^{-x}+C_2 e^{-2x}. Calculo as derivadas:
y'(x) = -C_1 e^{-x}-2C_2 e^{-2x},
y''(x) = C_1 e^{-x}+4C_2 e^{-2x}.
  • Substituo em \,y''+3y'+2y\,:
y''+3y'+2y = \big(C_1 e^{-x}+4C_2 e^{-2x}\big) + 3\big(-C_1 e^{-x}-2C_2 e^{-2x}\big) + 2\big(C_1 e^{-x}+C_2 e^{-2x}\big).
Agora agrupo termos em e^{-x} e e^{-2x}:
\text{coeficiente de }e^{-x}:\; C_1 -3C_1 +2C_1 =0,
\text{coeficiente de }e^{-2x}:\; 4C_2 -6C_2 +2C_2 =0.
Ambos dão 0, logo y''+3y'+2y=0 é satisfeito para quaisquer constantes C_1,C_2. Isso verifica que a solução encontrada é correta.

Resposta

Equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Verificação: substituindo \;y=C_1 e^{-x}+C_2 e^{-2x}\; na EDO obtém-se 0.
Solução geral: \displaystyle y(x)=C_1 e^{-x}+C_2 e^{-2x}.

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