Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método da Eq. Auxiliar.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
As perguntas são:
- Classificar a EDO (que tipo de equação é).
- Verificar (isto é, mostrar a solução obtida realmente satisfaz a equação).
- Determinar a solução geral aplicando o método da equação auxiliar.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: coeficientes numéricos são, e ; o lado direito é (homogênea); trata-se de uma EDO de segunda ordem (aparece ).
Passo 2
Explico o que significa classificar essa EDO, passo a passo e de forma didática:
- Ordem: é a maior derivada presente; aqui a maior derivada é
, então é uma EDO de ordem . - Linearidade: uma EDO é linear se
, , , … aparecem só de forma linear (coeficientes multiplicando cada derivada, sem produtos entre e suas derivadas nem funções não-lineares de ). Aqui temos , que é linear. - Homogeneidade: é homogênea se o lado direito é
. Aqui é , portanto homogênea. - Coeficientes constantes: os números que multiplicam
, , são constantes (não dependem de ); aqui são , e , logo constantes.
Conclusão da classificação (resumindo): é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Apresento o método da equação auxiliar (característica) de forma didática:
- Ideia: tentar uma solução da forma
, onde é um número (possivelmente complexo) a determinar. Essa escolha é natural porque derivadas de produzem o mesmo expoente multiplicado por , facilitando a transformação da EDO numa equação algébrica para . - Cálculo das derivadas: se
então
- Substituindo na equação original e fatorando
(que nunca é zero) obtemos a equação algébrica chamada equação auxiliar:
Aqui
é a incógnita dessa equação quadrática. Explico:
vem de
,
vem de
e
vem de
, com o fator comum
cancelado.
Passo 4
Resolver a equação auxiliar:
Podemos fatorar a quadrática (procure dois números que multiplicam para
e somam para
): esses números são
e
. Assim
Portanto as raízes são
Como são duas raízes reais distintas, isso indica a forma da solução geral que vamos usar no próximo passo.
Passo 5
Regra para raízes reais distintas: se a equação auxiliar tiver duas raízes reais distintas
e
, então duas soluções independentes da EDO são
e
, e a solução geral da EDO homogênea é a combinação linear
onde
e
são constantes arbitrárias. Justificativa curta e intuitiva: exponenciais com expoentes diferentes são funções linearmente independentes, então suas combinações lineares cobrem todas as soluções da EDO linear homogênea de segunda ordem.
No nosso caso
e
, então
Passo 6
Verificação direta (mostrar que a solução satisfaz a EDO):
- Começo de
. Calculo as derivadas:
- Substituo em
:
Agora agrupo termos em
e
:
Ambos dão
, logo
é satisfeito para quaisquer constantes
. Isso verifica que a solução encontrada é correta.
Resposta
Equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Verificação: substituindo na EDO obtém-se
.
Solução geral: .
Verificação: substituindo
Solução geral: