Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Equação Exata (caso seja possível).
(2 x-y) d x-(x+6 y) d y=0

Passo 1

Enunciado e o que se pede: temos a equação diferencial escrita em forma diferencial
(2x-y)\,dx-(x+6y)\,dy=0.
O enunciado pede três coisas:
  1. Classificar a equação (ou seja, identificar que tipo de EDO ela é).
  2. Verificar a propriedade que for relevante para a classificação (por exemplo, se for exata, verificar a condição de exatidão).
  3. Encontrar a solução geral da EDO (a família de integrais ou função implícita que resolve a equação).
Informações fornecidas explicitamente pelo enunciado:
M(x,y) = 2x-y\quad\text{e}\quad N(x,y)=-(x+6y),
onde a equação está na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.

Passo 2

O conceito que vamos usar (explicação didática): quando uma EDO está na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
dizemos que ela é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,y)=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}(x,y)=N(x,y).
Uma condição prática e muito usada para verificar exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se isso vale em uma região simplesmente conexa, então a equação é exata. Quando a equação é exata, a solução geral é dada pela igualdade
\Phi(x,y)=C,
onde C é constante. Vou explicar passo a passo como encontrar \Phi: integramos M em relação a x (tratando y como constante) e depois determinamos a parte que falta (uma “constante” que pode depender de y) comparando com N.

Passo 3

Verificação de exatidão (cálculo das derivadas parciais): primeiro calculemos
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x-y) = -1,
e
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-(x+6y)\bigr) = -1.
Como
\frac{\partial M}{\partial y} = -1 = \frac{\partial N}{\partial x},
a condição de exatidão é satisfeita. Além disso, M e N são polinômios (derivadas contínuas) e a região de interesse pode ser tomada como todo \mathbb{R}^2 (simplesmente conexa), então a equação é exata em toda parte. Portanto podemos proceder a encontrar \Phi(x,y).

Passo 4

Encontrar a função potencial \Phi: integramos M(x,y)=2x-y em relação a x, tratando y como constante:
\int (2x-y)\,dx = \int 2x\,dx - \int y\,dx = x^2 - x y + h(y),
onde escrevi a constante de integração como h(y) porque, ao integrar em x, a “constante” pode depender de y. Assim temos uma expressão candidata para \Phi:
\Phi(x,y) = x^2 - x y + h(y).

Passo 5

Determinar h(y) usando a relação \Phi_y = N: calculemos a derivada parcial de \Phi em relação a y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2 - x y + h(y)\bigr) = -x + h'(y).
Devemos ter \Phi_y = N(x,y) = -(x+6y). Igualando:
-x + h'(y) = -x - 6y.
Cancelando -x dos dois lados obtemos
h'(y) = -6y.
Agora integramos h'(y) em relação a y:
h(y) = \int -6y\,dy = -3y^2 + C_0,
onde C_0 é uma constante real.

Passo 6

Construir \Phi completo e a solução geral: substituindo h(y) em \Phi obtemos
\Phi(x,y) = x^2 - x y - 3y^2 + C_0.
A solução geral implícita da EDO é \Phi(x,y)= constante; absorvendo C_0 na constante geral C, escrevemos a família de curvas solução como
x^2 - x y - 3y^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 7

Verificação alternativa (checagem cruzada): podemos integrar N(x,y)=-(x+6y) em relação a y para verificar consistência:
\int (-(x+6y))\,dy = -x y - 3y^2 + g(x),
onde g(x) é função de x. Diferenciando essa expressão em relação a x deve dar M(x,y)=2x-y:
\frac{d}{dx}(-x y - 3y^2 + g(x)) = -y + g'(x).
Igualando a M(x,y)=2x-y obtemos g'(x)=2x, assim g(x)=x^2 + constante, que leva de novo a
\Phi(x,y)=x^2 - x y - 3y^2 + \text{const},
confirmando a solução encontrada.

Resposta

x^{2}-x y-3y^{2}=C

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