Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Equação Exata (caso seja possível).
Passo 1
Enunciado e o que se pede: temos a equação diferencial escrita em forma diferencial
O enunciado pede três coisas:
- Classificar a equação (ou seja, identificar que tipo de EDO ela é).
- Verificar a propriedade que for relevante para a classificação (por exemplo, se for exata, verificar a condição de exatidão).
- Encontrar a solução geral da EDO (a família de integrais ou função implícita que resolve a equação).
Informações fornecidas explicitamente pelo enunciado:
onde a equação está na forma
Passo 2
O conceito que vamos usar (explicação didática): quando uma EDO está na forma
dizemos que ela é exata se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática e muito usada para verificar exatidão (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é
Se isso vale em uma região simplesmente conexa, então a equação é exata. Quando a equação é exata, a solução geral é dada pela igualdade
onde
é constante. Vou explicar passo a passo como encontrar
: integramos
em relação a
(tratando
como constante) e depois determinamos a parte que falta (uma “constante” que pode depender de
) comparando com
.
Passo 3
Verificação de exatidão (cálculo das derivadas parciais): primeiro calculemos
e
Como
a condição de exatidão é satisfeita. Além disso,
e
são polinômios (derivadas contínuas) e a região de interesse pode ser tomada como todo
(simplesmente conexa), então a equação é exata em toda parte. Portanto podemos proceder a encontrar
.
Passo 4
Encontrar a função potencial
: integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde escrevi a constante de integração como
porque, ao integrar em
, a “constante” pode depender de
. Assim temos uma expressão candidata para
:
Passo 5
Determinar
usando a relação
: calculemos a derivada parcial de
em relação a
:
Devemos ter
. Igualando:
Cancelando
dos dois lados obtemos
Agora integramos
em relação a
:
onde
é uma constante real.
Passo 6
Construir
completo e a solução geral: substituindo
em
obtemos
A solução geral implícita da EDO é
constante; absorvendo
na constante geral
, escrevemos a família de curvas solução como
onde
é constante arbitrária.
Passo 7
Verificação alternativa (checagem cruzada): podemos integrar
em relação a
para verificar consistência:
onde
é função de
. Diferenciando essa expressão em relação a
deve dar
:
Igualando a
obtemos
, assim
constante, que leva de novo a
confirmando a solução encontrada.