Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Equação Exata (caso seja possível).
(2 x-y) d y-(x+6 y) d x=0

Passo 1

O enunciado pede três coisas: classificar a equação diferencial, verificar se ela é exata (e, se possível, resolver usando o método da equação exata) e, em todo caso, encontrar a solução geral. A equação dada é
(2 x - y)\,dy - (x + 6 y)\,dx = 0.
Informações relevantes fornecidas:
\;1) A equação é na forma envolvendo dx e dy.
\;2) Devemos tentar a classificação, checar a exatidão e obter a solução geral.
Não se resolve nada aqui ainda; apenas identificamos o que foi pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0. Reescrevendo:
-(x+6y)\,dx + (2x-y)\,dy = 0.
Portanto tomo
M(x,y) = -(x+6y),\qquad N(x,y)=2x-y.
Para verificar se é exata calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = -6, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2.
Como \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} (ou seja, -6 \neq 2), a equação não é exata na forma dada.

Passo 3

Tento verificar rapidamente se existe um fator integrante que dependa só de x ou só de y. As condições práticas são:
se existir \mu(x) então \dfrac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} deve ser função só de x;
se existir \mu(y) então \dfrac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M} deve ser função só de y.
Calculo:
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}=\frac{-6-2}{2x-y}=\frac{-8}{2x-y},
que depende de y, logo não é função só de x.
E
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}=\frac{2-(-6)}{-(x+6y)}=\frac{8}{-(x+6y)}=-\frac{8}{x+6y},
que depende de x e y, logo não é função só de y.
Portanto não existe integrador simples \mu(x) nem \mu(y). Conclusão: não é exata e não tem fator integrante puramente em x ou puramente em y de forma direta.

Passo 4

Procuro outra forma: escrevo a EDO na forma de derivada dy/dx. A equação original dá
(2x-y)\,dy = (x+6y)\,dx \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{x+6y}{2x-y}.
Observo que o lado direito é função de \dfrac{y}{x}, pois se faço y=vx (substituição homogênea) então
\frac{x+6y}{2x-y}=\frac{x+6vx}{2x-vx}=\frac{1+6v}{2-v},
ou seja depende apenas de v=\dfrac{y}{x}. Logo a equação é homogênea de primeira ordem. Isso nos permite usar a substituição y=vx.

Passo 5

Faço a substituição y=vx. Então
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Igualando à expressão obtida:
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1+6v}{2-v}.
Isolo x\frac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=\frac{1+6v}{2-v}-v.
Faço a subtração com denominador comum 2-v:
\frac{1+6v}{2-v}-v=\frac{1+6v - v(2-v)}{2-v}=\frac{1+6v-2v+v^2}{2-v}=\frac{v^2+4v+1}{2-v}.
Portanto
x\frac{dv}{dx}=\frac{v^2+4v+1}{2-v}.
Reescrevo como equação separável:
\frac{2-v}{v^2+4v+1}\,dv=\frac{dx}{x}.

Passo 6

Agora integro ambos os lados. Precisamos calcular
\int \frac{2-v}{v^2+4v+1}\,dv.
Faço a manipulação para integrar racionalmente. Chamo D(v)=v^2+4v+1. Observando que D'(v)=2v+4, tento escrever o numerador como combinação de D'(v) e uma constante:
procuro \alpha,\beta tais que 2-v=\alpha(2v+4)+\beta.
Isto dá o sistema 2\alpha=-1 (coeficiente de v) e 4\alpha+\beta=2 (constante). Assim \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=4.
Logo
\frac{2-v}{D(v)}=-\tfrac{1}{2}\frac{2v+4}{D(v)}+\frac{4}{D(v)}.
Integro termo a termo:
\int -\tfrac{1}{2}\frac{2v+4}{D(v)}\,dv = -\tfrac{1}{2}\ln|D(v)|
porque \frac{2v+4}{D(v)} é a derivada logarítmica de D(v).
Falta
\int \frac{4}{v^2+4v+1}\,dv.
Completo o quadrado no denominador:
v^2+4v+1=(v+2)^2-3.
Faço a mudança u=v+2, então a integral vira
4\int \frac{du}{u^2-3}.
Recordando a fórmula \int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right| para a>0, com a=\sqrt{3}, obtemos
4\int \frac{du}{u^2-3}=\frac{4}{2\sqrt{3}}\ln\left|\frac{u-\sqrt{3}}{u+\sqrt{3}}\right|=\frac{2}{\sqrt{3}}\ln\left|\frac{v+2-\sqrt{3}}{v+2+\sqrt{3}}\right|.
Juntando os termos:
\int \frac{2-v}{v^2+4v+1}\,dv=-\tfrac{1}{2}\ln|v^2+4v+1|+\frac{2}{\sqrt{3}}\ln\left|\frac{v+2-\sqrt{3}}{v+2+\sqrt{3}}\right|+C.

Passo 7

Igualo ao lado direito \int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C. Assim a equação integrada implicitamente é
-\tfrac{1}{2}\ln|v^2+4v+1|+\frac{2}{\sqrt{3}}\ln\left|\frac{v+2-\sqrt{3}}{v+2+\sqrt{3}}\right|=\ln|x|+C.
Agora volto à variável original y com v=\dfrac{y}{x}. Observando que
v^2+4v+1=\frac{y^2+4xy+x^2}{x^2}\quad\Rightarrow\quad \ln|v^2+4v+1|=\ln|y^2+4xy+x^2|-2\ln|x|,
e que
v+2\pm\sqrt{3}=\frac{y+2x\pm\sqrt{3}\,x}{x}=\frac{y+(2\pm\sqrt{3})x}{x},
substituo e simplifico (agrupando os logaritmos e absorvendo constantes multiplicativas em uma constante arbitrária C). Uma forma conveniente da solução implícita é:
-\tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(y^2+4xy+x^2\bigr)+\frac{2}{\sqrt{3}}\ln\!\left|\frac{y+(2-\sqrt{3})x}{y+(2+\sqrt{3})x}\right|=\ln|x|+C.
Opcionalmente exponenciando e rearranjando obtemos outra forma equivalente:
\left(\frac{y+(2-\sqrt{3})x}{y+(2+\sqrt{3})x}\right)^{\!\frac{4}{\sqrt{3}}}=C\bigl(x^2+4xy+y^2\bigr),
onde C é constante arbitrária de integração.

Resposta

A equação é uma EDO de primeira ordem homogênea (não exata).
Não é exata porque \dfrac{\partial M}{\partial y}=-6\neq 2=\dfrac{\partial N}{\partial x} e não possui fator integrante simples \mu(x) nem \mu(y).
Solução geral (implícita):
-\tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(y^2+4xy+x^2\bigr)+\frac{2}{\sqrt{3}}\ln\!\left|\frac{y+(2-\sqrt{3})x}{y+(2+\sqrt{3})x}\right|=\ln|x|+C.

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