Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Equação Exata (caso seja possível).
(2 x-y) d y-(x+6 y) d x=0
Passo 1
O enunciado pede três coisas: classificar a equação diferencial, verificar se ela é exata (e, se possível, resolver usando o método da equação exata) e, em todo caso, encontrar a solução geral. A equação dada é
(2 x - y)\,dy - (x + 6 y)\,dx = 0.
Informações relevantes fornecidas: \;1) A equação é na forma envolvendo dx e dy. \;2) Devemos tentar a classificação, checar a exatidão e obter a solução geral.
Não se resolve nada aqui ainda; apenas identificamos o que foi pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0. Reescrevendo:
-(x+6y)\,dx + (2x-y)\,dy = 0.
Portanto tomo
M(x,y) = -(x+6y),\qquad N(x,y)=2x-y.
Para verificar se é exata calculo as derivadas parciais:
Como \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} (ou seja, -6 \neq 2), a equação não é exata na forma dada.
Passo 3
Tento verificar rapidamente se existe um fator integrante que dependa só de x ou só de y. As condições práticas são:
se existir \mu(x) então \dfrac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} deve ser função só de x;
se existir \mu(y) então \dfrac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M} deve ser função só de y.
Calculo:
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}=\frac{-6-2}{2x-y}=\frac{-8}{2x-y},
que depende de y, logo não é função só de x.
E
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}=\frac{2-(-6)}{-(x+6y)}=\frac{8}{-(x+6y)}=-\frac{8}{x+6y},
que depende de x e y, logo não é função só de y.
Portanto não existe integrador simples \mu(x) nem \mu(y). Conclusão: não é exata e não tem fator integrante puramente em x ou puramente em y de forma direta.
Passo 4
Procuro outra forma: escrevo a EDO na forma de derivada dy/dx. A equação original dá
Faço a manipulação para integrar racionalmente. Chamo D(v)=v^2+4v+1. Observando que D'(v)=2v+4, tento escrever o numerador como combinação de D'(v) e uma constante:
procuro \alpha,\beta tais que 2-v=\alpha(2v+4)+\beta.
Isto dá o sistema 2\alpha=-1 (coeficiente de v) e 4\alpha+\beta=2 (constante). Assim \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=4.
Logo
substituo e simplifico (agrupando os logaritmos e absorvendo constantes multiplicativas em uma constante arbitrária C). Uma forma conveniente da solução implícita é:
A equação é uma EDO de primeira ordem homogênea (não exata).
Não é exata porque \dfrac{\partial M}{\partial y}=-6\neq 2=\dfrac{\partial N}{\partial x} e não possui fator integrante simples \mu(x) nem \mu(y).
Solução geral (implícita):