Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método dos Coeficientes Indeterminados.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}+y^{\prime}-6y=2x
e pede: (a) classificar a EDO, (b) verificar (isto é, checar que a solução particular encontrada realmente satisfaz a equação) e (c) determinar a solução geral aplicando o método dos coeficientes indeterminados. As informações relevantes são a própria equação e o termo não-homogêneo 2x.

Passo 2

Classificação detalhada (vamos listar o que cada termo significa):\n
  • A ordem da EDO é 2, pois a maior derivada presente é y^{\prime\prime}.\n
  • A equação é linear porque aparece a combinação linear das incógnitas y, y^\prime e y^{\prime\prime} (não há produtos ou potências de y nem das suas derivadas).\n
  • Os coeficientes são constantes porque os multiplicadores de y^{\prime\prime}, y^\prime e y são números (no caso 1, 1 e -6).\n
  • A equação é não homogênea (ou inhomogênea) porque o lado direito é 2x, que não é zero. Portanto, a EDO é uma EDO linear de ordem \,2, com coeficientes constantes e não homogênea.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada (passo padrão para obter a solução complementar): considerar
y^{\prime\prime}+y^{\prime}-6y=0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+r-6=0.
Agora resolvemos essa quadrática: o discriminante é \Delta=1^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25. Logo as raízes são
r=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}.
Assim obtemos r_{1}=2 e r_{2}=-3. Como temos duas raízes reais distintas, a solução complementar (solução da homogênea) é
y_{c}=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Ideia do método dos coeficientes indeterminados (explicação prática):\n
  • O objetivo é encontrar uma solução particular y_{p} que satisfaça a EDO completa. Para isso, escolhemos uma forma para y_{p} com parâmetros desconhecidos (coeficientes indeterminados) cujo tipo corresponde ao lado direito da equação.\n
  • Regras úteis: se o termo não-homogêneo for um polinômio de grau n (aqui 2x é polinômio de grau 1), tentamos y_{p} como um polinômio de grau n. Se a forma escolhida for solução da homogênea (resonância), multiplicamos por x até eliminar a coincidência. No nosso caso, o lado direito é um polinômio e as soluções homogêneas são exponenciais e^{2x} e e^{-3x}, não há coincidência, então não precisamos multiplicar por x.

Passo 5

Escolha do ansatz particular e computação das derivadas:\n
Como o termo não-homogêneo é 2x (grau 1), escolhemos
y_{p}=Ax+B,
onde A e B são coeficientes indeterminados. Calculemos as derivadas:
y_{p}^{\prime}=A,\qquad y_{p}^{\prime\prime}=0.

Passo 6

Substituição de y_{p} na EDO e igualação dos coeficientes:\n
Substituindo em \,y^{\prime\prime}+y^{\prime}-6y=2x temos
0 + A -6(Ax+B)=2x.
Organizando termos em potências de x:
-6A\,x + (A-6B)=2x+0.
Comparando coeficientes do polinômio (coeficiente de x e termo constante) obtemos o sistema
\begin{cases} -6A = 2,\\[4pt] A-6B = 0. \end{cases}
Resolvendo a primeira equação dá
A=-\frac{1}{3}.
Substituindo na segunda:
-\frac{1}{3}-6B=0\quad\Rightarrow\quad 6B=-\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad B=-\frac{1}{18}.
Portanto a solução particular é
y_{p}=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{18}.]

Passo 7

Verificação direta (mostrar que y_{p} satisfaz a EDO):\n
Usando y_{p}=-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{1}{18} temos y_{p}^{\prime}=-\tfrac{1}{3} e y_{p}^{\prime\prime}=0. Substituindo na esquerda da EDO:
y_{p}^{\prime\prime}+y_{p}^{\prime}-6y_{p}=0+(-\tfrac{1}{3})-6\Big(-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{1}{18}\Big).
Calculemos passo a passo o segundo termo:
-6\Big(-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{1}{18}\Big)=2x+\tfrac{6}{18}=2x+\tfrac{1}{3}.
Somando com -\tfrac{1}{3} obtemos
-\tfrac{1}{3} + \big(2x+\tfrac{1}{3}\big)=2x.
Logo a igualdade da EDO se confirma: y_{p}^{\prime\prime}+y_{p}^{\prime}-6y_{p}=2x. A verificação deu certo.

Passo 8

Solução geral:\n
A solução geral da EDO é a soma da solução complementar y_{c} com a solução particular y_{p}:
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-3x}-\frac{1}{3}x-\frac{1}{18},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

A EDO é de ordem \,2, linear, com coeficientes constantes e não homogênea.\n
A solução particular verificada é \displaystyle y_{p}=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{18}, que satisfaz a EDO.\n
A solução geral é \displaystyle y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-3x}-\frac{1}{3}x-\frac{1}{18}.

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