Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método dos Coeficientes Indeterminados.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: (a) classificar a EDO, (b) verificar (isto é, checar que a solução particular encontrada realmente satisfaz a equação) e (c) determinar a solução geral aplicando o método dos coeficientes indeterminados. As informações relevantes são a própria equação e o termo não-homogêneo
.
Passo 2
Classificação detalhada (vamos listar o que cada termo significa):\n
- A ordem da EDO é
, pois a maior derivada presente é .\n - A equação é linear porque aparece a combinação linear das incógnitas
, e (não há produtos ou potências de nem das suas derivadas).\n - Os coeficientes são constantes porque os multiplicadores de
, e são números (no caso , e ).\n - A equação é não homogênea (ou inhomogênea) porque o lado direito é
, que não é zero. Portanto, a EDO é uma EDO linear de ordem , com coeficientes constantes e não homogênea.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada (passo padrão para obter a solução complementar): considerar
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
Agora resolvemos essa quadrática: o discriminante é
. Logo as raízes são
Assim obtemos
e
. Como temos duas raízes reais distintas, a solução complementar (solução da homogênea) é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Ideia do método dos coeficientes indeterminados (explicação prática):\n
- O objetivo é encontrar uma solução particular
que satisfaça a EDO completa. Para isso, escolhemos uma forma para com parâmetros desconhecidos (coeficientes indeterminados) cujo tipo corresponde ao lado direito da equação.\n - Regras úteis: se o termo não-homogêneo for um polinômio de grau
(aqui é polinômio de grau ), tentamos como um polinômio de grau . Se a forma escolhida for solução da homogênea (resonância), multiplicamos por até eliminar a coincidência. No nosso caso, o lado direito é um polinômio e as soluções homogêneas são exponenciais e , não há coincidência, então não precisamos multiplicar por .
Passo 5
Escolha do ansatz particular e computação das derivadas:\n
Como o termo não-homogêneo é (grau
), escolhemos
Como o termo não-homogêneo é
onde
e
são coeficientes indeterminados. Calculemos as derivadas:
Passo 6
Substituição de
na EDO e igualação dos coeficientes:\n
Substituindo em temos
Substituindo em
Organizando termos em potências de
:
Comparando coeficientes do polinômio (coeficiente de
e termo constante) obtemos o sistema
Resolvendo a primeira equação dá
Substituindo na segunda:
Portanto a solução particular é
Passo 7
Verificação direta (mostrar que
satisfaz a EDO):\n
Usando temos
e
. Substituindo na esquerda da EDO:
Usando
Calculemos passo a passo o segundo termo:
Somando com
obtemos
Logo a igualdade da EDO se confirma:
. A verificação deu certo.
Passo 8
Solução geral:\n
A solução geral da EDO é a soma da solução complementar com a solução particular
:
A solução geral da EDO é a soma da solução complementar
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A EDO é de ordem
, linear, com coeficientes constantes e não homogênea.\n
A solução particular verificada é , que satisfaz a EDO.\n
A solução geral é .
A solução particular verificada é
A solução geral é