Classifique, verifique e encontre a solução da Equação Linear de
ordem aplicando o método de fator de integração.
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique, verifique e encontre a solução da equação
Informações dadas pelo enunciado:
- A equação diferencial é
. - Não foi dada condição inicial, portanto procuro a solução geral.
- Preciso aplicar o método do fator de integração.
O que se pede explicitamente: (1) classificar a equação, (2) verificar a solução obtida, (3) encontrar a solução geral.
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem. A forma padrão é
onde
e
são funções de
. Para isso divido toda a equação por
(atenção: isso só é válido para
), obtendo
Aqui identifiquei
Observação importante: não posso dividir por
se
, então o ponto
é singular; a solução que eu encontrar valerá para intervalos em que
.
Passo 3
Explico o método do fator de integração de forma didática. A ideia é multiplicar a equação padrão por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Se escolhermos
satisfazendo
então
A fórmula prática para
é
Aqui
é a função que multiplica
na forma padrão e
é a função exponencial.
Passo 4
Calculo o fator de integração para
:
Explicação sobre o valor absoluto:
. Em intervalos onde
temos
; em intervalos onde
temos
. Para trabalhar de forma simples, escolho
ao trabalhar em um intervalo onde
(ou tomo
para
); ambos conduzem à mesma família de soluções válidas em seus respectivos intervalos. Multiplicando a forma padrão por
obtemos
Note que, na verdade, essa expressão coincide com o lado esquerdo da equação original.
Passo 5
Agora aplico o passo de integração: como
integro ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é
onde
é a constante de integração. Logo
Isolando
(lembrando que isto exige
):
Aqui
é uma constante arbitrária real e a solução é válida para
. Observação: se eu quiser uma solução definida em
, preciso de
; nesse caso
é uma solução que pode ser estendida contínua incluindo
.
Passo 6
Verifico a solução substituindo
na equação original. Primeiro calculo a derivada:
Multiplico por
e somo
:
A igualdade obtida é exatamente o lado direito da equação original, então a solução está verificada (para
).
Passo 7
Resumo final e observações finais:
- A equação é linear de primeira ordem e não homogênea; o ponto
é singular (não se pode dividir por zero). - A solução geral encontrada por fator de integração é
para . - A solução pode ser estendida a
somente no caso , dando a solução particular definida em todo .
Resposta
Classificação: equação linear de
ordem não homogênea, definida para
.
Solução geral: com
.
Verificação: substituindo obtém-se , logo a solução está verificada.
Solução geral:
Verificação: substituindo obtém-se