Classifique, verifique e encontre a solução da Equação Linear de 1^{\mathrm{a}} ordem aplicando o método de fator de integração.
x \frac{d y}{d x}+y=2 x

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique, verifique e encontre a solução da equação
x\frac{dy}{dx}+y=2x.
Informações dadas pelo enunciado:
  • A equação diferencial é \;x\frac{dy}{dx}+y=2x.
  • Não foi dada condição inicial, portanto procuro a solução geral.
  • Preciso aplicar o método do fator de integração.
    O que se pede explicitamente: (1) classificar a equação, (2) verificar a solução obtida, (3) encontrar a solução geral.

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem. A forma padrão é
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções de x. Para isso divido toda a equação por x (atenção: isso só é válido para x\neq0), obtendo
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=2.
Aqui identifiquei
P(x)=\frac{1}{x},\qquad Q(x)=2.
Observação importante: não posso dividir por x se x=0, então o ponto x=0 é singular; a solução que eu encontrar valerá para intervalos em que x\neq0.

Passo 3

Explico o método do fator de integração de forma didática. A ideia é multiplicar a equação padrão por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y. Se escolhermos \mu satisfazendo
\mu'(x)=\mu(x)P(x),
então
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu'(x)y=\mu(x)\Big(\frac{dy}{dx}+P(x)y\Big).
A fórmula prática para \mu é
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Aqui P(x) é a função que multiplica y na forma padrão e \exp é a função exponencial.

Passo 4

Calculo o fator de integração para P(x)=\dfrac{1}{x}:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(\ln|x|)=|x|.
Explicação sobre o valor absoluto: \int 1/x\,dx=\ln|x|+C. Em intervalos onde x>0 temos \mu(x)=x; em intervalos onde x<0 temos \mu(x)=-x. Para trabalhar de forma simples, escolho \mu(x)=x ao trabalhar em um intervalo onde x>0 (ou tomo \mu(x)=-x para x<0); ambos conduzem à mesma família de soluções válidas em seus respectivos intervalos. Multiplicando a forma padrão por \mu(x)=x obtemos
x\frac{dy}{dx}+y=\frac{d}{dx}(x y).
Note que, na verdade, essa expressão coincide com o lado esquerdo da equação original.

Passo 5

Agora aplico o passo de integração: como
\frac{d}{dx}(x y)=2x,
integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}(x y)\,dx=\int 2x\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente x y. A integral do lado direito é
\int 2x\,dx = x^2 + C,
onde C é a constante de integração. Logo
x y = x^2 + C.
Isolando y (lembrando que isto exige x\neq0):
y = x + \frac{C}{x}.
Aqui C é uma constante arbitrária real e a solução é válida para x\neq0. Observação: se eu quiser uma solução definida em x=0, preciso de C=0; nesse caso y(x)=x é uma solução que pode ser estendida contínua incluindo x=0.

Passo 6

Verifico a solução substituindo y(x)=x+\dfrac{C}{x} na equação original. Primeiro calculo a derivada:
\frac{dy}{dx}=1 - \frac{C}{x^2}.
Multiplico por x e somo y:
x\frac{dy}{dx}+y = x\Big(1-\frac{C}{x^2}\Big) + \Big(x+\frac{C}{x}\Big) = x - \frac{C}{x} + x + \frac{C}{x} = 2x.
A igualdade obtida é exatamente o lado direito da equação original, então a solução está verificada (para x\neq0).

Passo 7

Resumo final e observações finais:
  • A equação é linear de primeira ordem e não homogênea; o ponto x=0 é singular (não se pode dividir por zero).
  • A solução geral encontrada por fator de integração é y=x+\dfrac{C}{x} para x\neq0.
  • A solução pode ser estendida a x=0 somente no caso C=0, dando a solução particular y(x)=x definida em todo \mathbb{R}.

Resposta

Classificação: equação linear de 1^{\mathrm{a}} ordem não homogênea, definida para x\neq0.
Solução geral: y(x)=x+\dfrac{C}{x},\quad x\neq0, com C\in\mathbb{R}.
Verificação: substituindo obtém-se x\frac{dy}{dx}+y=2x, logo a solução está verificada.

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