Classifique, verifique e encontre a solução da Equação Linear de 1^{\mathrm{a}} ordem aplicando o método de fator de integração.
\left(4+t^{2}\right) \frac{d y}{d t}+2 t y=4 t

Passo 1

O enunciado fornece a equação
(4+t^{2})\frac{dy}{dt}+2t\,y=4t
e pede três coisas: classificar a equação, verificar (isto é, confirmar que nossa solução realmente satisfaz a equação) e encontrar a solução usando o método de fator de integração. Informações relevantes dadas: o coeficiente de \frac{dy}{dt} é 4+t^{2}, o termo em y é 2t e o termo independente é 4t. A resolução começará a seguir.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão (coeficiente de \frac{dy}{dt} igual a 1), dividindo ambos os lados por 4+t^{2} — como 4+t^{2}>0 para todo t, essa divisão é válida em todo \mathbb{R}. Fazendo isso obtemos
\frac{dy}{dt}+\frac{2t}{4+t^{2}}\,y=\frac{4t}{4+t^{2}}.
Aqui identificamos os termos padrões: p(t)=\dfrac{2t}{4+t^{2}} e q(t)=\dfrac{4t}{4+t^{2}}. Não resolvemos nada ainda, só reorganizamos.

Passo 3

Agora uma mini-aula sobre o método do fator de integração (explicação intuitiva e fórmula):
  • Para uma equação padrão \dfrac{dy}{dt}+p(t)y=q(t), a ideia é multiplicar por uma função \mu(t) (o fator de integração) de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(t)y.
  • Queremos \mu(t) tal que
\mu(t)\frac{dy}{dt}+\mu(t)p(t)y=\frac{d}{dt}\big(\mu(t)y\big).
  • Expandindo a derivada no lado direito:
\frac{d}{dt}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dt}+\mu'\,y.
  • Comparando com o lado esquerdo, precisamos de \mu'\!(t)=\mu(t)p(t). Isso é uma equação separável para \mu:
\frac{\mu'}{\mu}=p(t)\quad\Rightarrow\quad \ln|\mu(t)|=\int p(t)\,dt + \text{const}.
  • Assim o fator de integração pode ser escolhido (índipendentemente da constante multiplicativa) como
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Essa é a fórmula que vamos aplicar.

Passo 4

Aplicando ao nosso problema, lembrando que p(t)=\dfrac{2t}{4+t^{2}}. Calculamos a integral
\int p(t)\,dt=\int \frac{2t}{4+t^{2}}\,dt.
Fazemos a substituição u=4+t^{2}, daí du=2t\,dt. Logo
\int \frac{2t}{4+t^{2}}\,dt=\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+\text{const}=\ln(4+t^{2})+\text{const}.
Como 4+t^{2}>0 não precisamos do valor absoluto. Então um fator de integração conveniente é
\mu(t)=\exp\big(\ln(4+t^{2})\big)=4+t^{2}.
Observação: às vezes o fator de integração simplifica para algo já presente na equação — aqui \mu(t)=4+t^{2}, que é exatamente o coeficiente original de \frac{dy}{dt}.

Passo 5

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t)=4+t^{2}. Mas note que, por construção, multiplicando a forma padrão já recuperamos a equação original; escrevendo explicitamente:
(4+t^{2})\frac{dy}{dt}+2t\,y=\;4t.
Pela propriedade do fator de integração, o lado esquerdo é a derivada de (4+t^{2})y. Ou seja,
\frac{d}{dt}\big((4+t^{2})y\big)=4t.
Isso é ótimo: reduzimos a equação diferencial a uma equação para integrar diretamente.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\big((4+t^{2})y\big)\,dt=\int 4t\,dt.
A integral do lado esquerdo é simplesmente (4+t^{2})y. A integral do lado direito é
\int 4t\,dt=2t^{2}+C,
onde C é a constante de integração. Assim obtemos
(4+t^{2})y=2t^{2}+C.

Passo 7

Isolando y, a solução geral fica
y(t)=\frac{2t^{2}+C}{4+t^{2}},
com C\in\mathbb{R}. Podemos também escrever
y(t)=\frac{2t^{2}}{4+t^{2}}+\frac{C}{4+t^{2}}.
Observação sobre domínio: como 4+t^{2}>0 para todo t\in\mathbb{R}, essa expressão é válida em toda a reta real.

Passo 8

Verificação (substituição direta) para garantir que encontramos a solução correta. Tomemos a solução encontrada
y=\frac{2t^{2}+C}{4+t^{2}}.
Calculamos a derivada usando a regra do quociente: se N(t)=2t^{2}+C e D(t)=4+t^{2}, então N'(t)=4t e D'(t)=2t, e
\frac{dy}{dt}=\frac{N'D-ND'}{D^{2}}=\frac{4t(4+t^{2})-(2t^{2}+C)2t}{(4+t^{2})^{2}}=\frac{2t(8-C)}{(4+t^{2})^{2}}.
Agora calculamos (4+t^{2})\dfrac{dy}{dt}+2t\,y. Substituindo:
(4+t^{2})\frac{dy}{dt}=\frac{2t(8-C)}{4+t^{2}}\quad\text{e}\quad 2t\,y=\frac{2t(2t^{2}+C)}{4+t^{2}}.
Somando numeradores sobre o mesmo denominador:
\frac{2t(8-C)+2t(2t^{2}+C)}{4+t^{2}}=\frac{16t-2Ct+4t^{3}+2Ct}{4+t^{2}}=\frac{4t(4+t^{2})}{4+t^{2}}=4t.
Portanto a expressão satisfaz exatamente a equação original para todo t, o que verifica nossa solução.

Resposta

Classificação: equação linear de 1^{\mathrm{a}} ordem, não homogênea.
Verificação: substituindo y(t)=\dfrac{2t^{2}+C}{4+t^{2}} na equação obtém-se identidade 4t=4t (verificado para todo t\in\mathbb{R}).
Solução geral: \displaystyle y(t)=\frac{2t^{2}+C}{4+t^{2}},\; C\in\mathbb{R}.

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