Classifique, verifique e encontre a solução da Equação Linear de
ordem aplicando o método de fator de integração.
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede três coisas: classificar a equação, verificar (isto é, confirmar que nossa solução realmente satisfaz a equação) e encontrar a solução usando o método de fator de integração. Informações relevantes dadas: o coeficiente de
é
, o termo em
é
e o termo independente é
. A resolução começará a seguir.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão (coeficiente de
igual a 1), dividindo ambos os lados por
— como
para todo
, essa divisão é válida em todo
. Fazendo isso obtemos
Aqui identificamos os termos padrões:
e
. Não resolvemos nada ainda, só reorganizamos.
Passo 3
Agora uma mini-aula sobre o método do fator de integração (explicação intuitiva e fórmula):
- Para uma equação padrão
, a ideia é multiplicar por uma função (o fator de integração) de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de . - Queremos
tal que
- Expandindo a derivada no lado direito:
- Comparando com o lado esquerdo, precisamos de
. Isso é uma equação separável para :
- Assim o fator de integração pode ser escolhido (índipendentemente da constante multiplicativa) como
Essa é a fórmula que vamos aplicar.
Passo 4
Aplicando ao nosso problema, lembrando que
. Calculamos a integral
Fazemos a substituição
, daí
. Logo
Como
não precisamos do valor absoluto. Então um fator de integração conveniente é
Observação: às vezes o fator de integração simplifica para algo já presente na equação — aqui
, que é exatamente o coeficiente original de
.
Passo 5
Multiplicamos a equação padrão por
. Mas note que, por construção, multiplicando a forma padrão já recuperamos a equação original; escrevendo explicitamente:
Pela propriedade do fator de integração, o lado esquerdo é a derivada de
. Ou seja,
Isso é ótimo: reduzimos a equação diferencial a uma equação para integrar diretamente.
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é
onde
é a constante de integração. Assim obtemos
Passo 7
Isolando
, a solução geral fica
com
. Podemos também escrever
Observação sobre domínio: como
para todo
, essa expressão é válida em toda a reta real.
Passo 8
Verificação (substituição direta) para garantir que encontramos a solução correta. Tomemos a solução encontrada
Calculamos a derivada usando a regra do quociente: se
e
, então
e
, e
Agora calculamos
. Substituindo:
Somando numeradores sobre o mesmo denominador:
Portanto a expressão satisfaz exatamente a equação original para todo
, o que verifica nossa solução.
Resposta
Classificação: equação linear de
ordem, não homogênea.
Verificação: substituindo na equação obtém-se identidade
(verificado para todo
).
Solução geral: .
Verificação: substituindo
Solução geral: