Classifique, verifique e encontre a solução geral e específica da EDO aplicando o método de Equação Homogênea.
Passo 1
O enunciado pede: classificar a EDO, verificar soluções relevantes e encontrar a solução geral e a solução particular que satisfaça a condição inicial.
Informações dadas: a equação diferencial
Informações dadas: a equação diferencial
e a condição inicial
.
Passo 2
Coloco a EDO na forma explícita para
. Dividindo ambos os lados por
(quando
e
não são zero):
Agora observo a razão do lado direito: tanto
quanto
são termos de grau
, e a razão depende apenas do quociente
. Isso indica que a equação é homogênea (ou seja, o membro direito é uma função de
). Portanto a equação é uma EDO de primeira ordem homogênea.
Passo 3
Explico o método homogêneo e o que vou fazer: para equações homogêneas costuma-se usar a substituição
Aqui escolho
. Derivo em relação a
:
Substituo na equação original. Lembrando que
, obtenho
Passo 4
Arrumo a equação para isolar
. Subtraindo
de ambos os lados:
Faço a operação no lado direito com denominador comum
:
Logo
Esta equação é separável em
e
.
Passo 5
Separo as variáveis e integro. Escrevo
Integro ambos os lados. Para a integral à esquerda faço a substituição
,
, então
A integral à direita é
Igualando e reunindo constantes obtenho
Multiplicando por
e exponenciando de forma conveniente, escrevo
o que é equivalente a
para alguma constante
. Retirando valor absoluto e usando constante arbitrária
(pode ser positiva ou negativa), obtenho a forma mais simples
Agora volto à variável original
com
:
Multiplicando por
:
Essa é a solução geral implícita da EDO.
Passo 6
Comento sobre soluções singulares e constantes: no processo houve também a possibilidade
(quando
), que correspondem às soluções
. Substituindo
na EDO verifica-se que são soluções válidas. Essas soluções ficam incluídas na família geral para
já que
dá
, ou seja
(duas ramificações).
Passo 7
Escrevo explicitamente a família de soluções em forma resolvida para
:
Ou
Observação sobre domínio: o radicando
deve ser não negativo para termos solução real, o que restringe o domínio em função de
.
Passo 8
Aplico a condição inicial
. Substituo
e
na forma implícita
obtendo
Portanto a constante específica é
e a solução particular implícita é
ou equivalentemente
ou ainda
Passo 9
Verificação e observações finais sobre a condição inicial: atenção importante — a equação original na forma
tem o fator
multiplicando
. No ponto
esse fator é
, enquanto o lado direito é
, então a igualdade da EDO não pode ser satisfeita exatamente em
. Ou seja, não existe função diferenciável
em um intervalo contendo
que satisfaça a equação original ponto a ponto e simultaneamente tenha
. O que encontramos foi uma curva integral da família geral que passa por
(a curva com
), mas nela a derivada é singular em
(ao derivar implicitamente obtemos
, que diverge em
). Portanto:
- Há curvas solução da família que passam por
mas a equação não é satisfeita naquele ponto (o lado esquerdo fica e o direito ). - Em contrapartida, a curva com
é solução da EDO para em intervalos onde (por exemplo para ou dependendo do ramo escolhido), mas não é solução clássica em um intervalo que contenha .
Resposta
Classificação: EDO de primeira ordem homogênea.
Solução geral (implícita): .
Soluções constantes/linha: (caso
).
Solução particular pela condição :
, isto é
ou
.
Observação sobre a condição inicial: o ponto é singular para a EDO (o coeficiente de
anula-se), portanto não existe solução diferenciável que satisfaça a equação em um intervalo contendo
; a curva com
passa por
mas não satisfaz a EDO exatamente nesse ponto.
Solução geral (implícita):
Soluções constantes/linha:
Solução particular pela condição
Observação sobre a condição inicial: o ponto