Classifique, verifique e encontre a solução geral e específica da EDO aplicando o método de Equação Homogênea.
2 x y \frac{d y}{d x}=x^{2}+y^{2} \quad y(x=1)=0

Passo 1

O enunciado pede: classificar a EDO, verificar soluções relevantes e encontrar a solução geral e a solução particular que satisfaça a condição inicial.
Informações dadas: a equação diferencial
2 x y \frac{d y}{d x}=x^{2}+y^{2}
e a condição inicial \,y(x=1)=0.

Passo 2

Coloco a EDO na forma explícita para \frac{dy}{dx}. Dividindo ambos os lados por 2xy (quando x e y não são zero):
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{2xy}.
Agora observo a razão do lado direito: tanto x^{2} quanto y^{2} são termos de grau 2, e a razão depende apenas do quociente y/x. Isso indica que a equação é homogênea (ou seja, o membro direito é uma função de y/x). Portanto a equação é uma EDO de primeira ordem homogênea.

Passo 3

Explico o método homogêneo e o que vou fazer: para equações homogêneas costuma-se usar a substituição
u=\frac{y}{x}\quad\text{ou}\quad y=ux.
Aqui escolho y=ux. Derivo em relação a x:
\frac{d y}{d x}=u+x\frac{d u}{d x}.
Substituo na equação original. Lembrando que \,y^{2}=u^{2}x^{2}, obtenho
u+x\frac{d u}{d x}=\frac{1+u^{2}}{2u}.

Passo 4

Arrumo a equação para isolar \frac{du}{dx}. Subtraindo u de ambos os lados:
x\frac{d u}{d x}=\frac{1+u^{2}}{2u}-u.
Faço a operação no lado direito com denominador comum 2u:
\frac{1+u^{2}-2u^{2}}{2u}=\frac{1-u^{2}}{2u}.
Logo
\frac{d u}{d x}=\frac{1-u^{2}}{2u}\cdot\frac{1}{x}.
Esta equação é separável em u e x.

Passo 5

Separo as variáveis e integro. Escrevo
\frac{2u}{1-u^{2}}\,du=\frac{dx}{x}.
Integro ambos os lados. Para a integral à esquerda faço a substituição w=1-u^{2}, dw=-2u\,du, então
\int\frac{2u}{1-u^{2}}\,du=\int\frac{-dw}{w}=-\ln|w|+C=-\ln|1-u^{2}|+C.
A integral à direita é
\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C.
Igualando e reunindo constantes obtenho
-\ln|1-u^{2}|=\ln|x|+C_1.
Multiplicando por -1 e exponenciando de forma conveniente, escrevo
\ln|1-u^{2}|=-\ln|x|+C_2
o que é equivalente a
|1-u^{2}||x|=K
para alguma constante K. Retirando valor absoluto e usando constante arbitrária C (pode ser positiva ou negativa), obtenho a forma mais simples
x(1-u^{2})=C.
Agora volto à variável original y com u=\dfrac{y}{x}:
x\Bigl(1-\frac{y^{2}}{x^{2}}\Bigr)=C.
Multiplicando por x:
x^{2}-y^{2}=C x.
Essa é a solução geral implícita da EDO.

Passo 6

Comento sobre soluções singulares e constantes: no processo houve também a possibilidade u=\pm 1 (quando 1-u^{2}=0), que correspondem às soluções y=\pm x. Substituindo y=\pm x na EDO verifica-se que são soluções válidas. Essas soluções ficam incluídas na família geral para C=0 já que x^{2}-y^{2}=0 y^{2}=x^{2}, ou seja y=\pm x (duas ramificações).

Passo 7

Escrevo explicitamente a família de soluções em forma resolvida para y:
y^{2}=x^{2}-C x.
Ou
y=\pm\sqrt{x^{2}-C x}.
Observação sobre domínio: o radicando x^{2}-C x=x(x-C) deve ser não negativo para termos solução real, o que restringe o domínio em função de C.

Passo 8

Aplico a condição inicial \,y(1)=0. Substituo x=1 e y=0 na forma implícita
1^{2}-0^{2}=C\cdot 1
obtendo
C=1.
Portanto a constante específica é C=1 e a solução particular implícita é
x^{2}-y^{2}=x
ou equivalentemente
y^{2}=x^{2}-x=x(x-1),
ou ainda
y=\pm\sqrt{x(x-1)}.

Passo 9

Verificação e observações finais sobre a condição inicial: atenção importante — a equação original na forma 2xy\,y'=x^{2}+y^{2} tem o fator 2xy multiplicando y'. No ponto (x,y)=(1,0) esse fator é 0, enquanto o lado direito é 1, então a igualdade da EDO não pode ser satisfeita exatamente em x=1. Ou seja, não existe função diferenciável y em um intervalo contendo x=1 que satisfaça a equação original ponto a ponto e simultaneamente tenha y(1)=0. O que encontramos foi uma curva integral da família geral que passa por (1,0) (a curva com C=1), mas nela a derivada é singular em x=1 (ao derivar implicitamente obtemos y'=(2x-1)/(2y), que diverge em x=1,y=0). Portanto:
  • Há curvas solução da família que passam por (1,0) mas a equação não é satisfeita naquele ponto (o lado esquerdo fica 0 e o direito 1).
  • Em contrapartida, a curva com C=1 é solução da EDO para x em intervalos onde y\neq0 (por exemplo para x>1 ou x<0 dependendo do ramo escolhido), mas não é solução clássica em um intervalo que contenha x=1.

Resposta

Classificação: EDO de primeira ordem homogênea.
Solução geral (implícita): x^{2}-y^{2}=C x.
Soluções constantes/linha: y=\pm x (caso C=0).
Solução particular pela condição y(1)=0: x^{2}-y^{2}=x, isto é y^{2}=x(x-1) ou y=\pm\sqrt{x(x-1)}.
Observação sobre a condição inicial: o ponto (1,0) é singular para a EDO (o coeficiente de y' anula-se), portanto não existe solução diferenciável que satisfaça a equação em um intervalo contendo x=1; a curva com C=1 passa por (1,0) mas não satisfaz a EDO exatamente nesse ponto.

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