Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Equação Homogênea.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a equação diferencial
- classificar a EDO (o que ela é, em termos simples);
- verificar a solução obtida (mostrar que realmente satisfaz a EDO);
- encontrar a solução geral usando o método de Equação Homogênea (conforme pedido).
Informações dadas que vamos usar:
e a equação diferencial escrita na forma diferencial exata:
Observação: para manipular logaritmos vamos precisar de
. Não faremos mais nenhum passo de resolução neste item — só organizei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Vamos passar para a forma
. Reescrevendo a equação original:
Dividindo por
e por
(assumindo momentaneamente
):
Note que o lado direito depende apenas da razão
. Isso é a característica das EDOs homogêneas de primeira ordem: quando
podemos usar a substituição abaixo. Vou explicar gentilmente o porquê e como fazer.
Passo 3
Explicação do método (substituição homogênea) e aplicação:
Se definirmos
Se definirmos
então estamos representando a solução como
com
. Diferenciando
em relação a
usamos a regra do produto:
Essa fórmula é direta: derivada de
é
, reescrita como acima. Agora substituímos essa expressão e
na equação de Passo 2.
Passo 4
Substituindo
e
em
obtemos:
Cancela-se
dos dois lados:
Essa equação é separável em
e
. Reescrevendo:
Passo 5
Integramos ambos os lados. Lembre que
e
. Assim
onde
é constante arbitrária de integração. Agora voltamos à variável original usando
. Substituindo:
Reorganizando (e renomeando a constante, se preferir) obtemos a forma implícita conveniente:
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Da forma implícita
podemos isolar
e escrever uma forma explícita (quando
):
Aqui renomeamos constantes quando convém; a família de soluções está descrita por essa expressão, com
e
e
(para evitar divisão por zero). Também observe que durante a separação dividimos por
, então a possibilidade
(isto é,
) deve ser verificada separadamente.
Passo 7
Verificação e soluções singulares:
- Verificação da solução implícita: diferencie
. Temos
Usando a regra do quociente (ou produto
):
Portanto
Multiplicando por
e isolando
chega-se a
que é exatamente a forma encontrada no Passo 2; assim a solução implícita satisfaz a EDO (para
e
onde fizermos as divisões). Isso verifica a solução geral obtida.
- Solução singular
: substituindo na equação original,
ou seja
. Portanto
é solução (a separação teve divisão por
, logo perdemos essa possibilidade durante o processo e devemos citá-la).
Resposta
Classificação:
e
são homogêneas de grau
; portanto a EDO é uma EDO homogênea de primeira ordem.
Solução geral (implícita):
.
Solução geral (explícita):
.
Solução singular:
.