Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Equação Homogênea.
\left(y^{2}+y x\right) d x-x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a equação diferencial
\left(y^{2}+y x\right) d x-x^{2} d y=0:
  • classificar a EDO (o que ela é, em termos simples);
  • verificar a solução obtida (mostrar que realmente satisfaz a EDO);
  • encontrar a solução geral usando o método de Equação Homogênea (conforme pedido).
Informações dadas que vamos usar:
M(x,y)=y^{2}+xy,\qquad N(x,y)=-x^{2},
e a equação diferencial escrita na forma diferencial exata:
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
Observação: para manipular logaritmos vamos precisar de x\neq0. Não faremos mais nenhum passo de resolução neste item — só organizei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Vamos passar para a forma \dfrac{dy}{dx}=\cdots. Reescrevendo a equação original:
\left(y^{2}+yx\right)dx-x^{2}dy=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}dy=(y^{2}+yx)\,dx.
Dividindo por dx e por x^{2} (assumindo momentaneamente x\neq0):
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}+xy}{x^{2}}=\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{y}{x}.
Note que o lado direito depende apenas da razão \dfrac{y}{x}. Isso é a característica das EDOs homogêneas de primeira ordem: quando \dfrac{dy}{dx}=F\!\left(\dfrac{y}{x}\right) podemos usar a substituição abaixo. Vou explicar gentilmente o porquê e como fazer.

Passo 3

Explicação do método (substituição homogênea) e aplicação:
Se definirmos
v=\frac{y}{x},
então estamos representando a solução como y=vx com v=v(x). Diferenciando y=vx em relação a x usamos a regra do produto:
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Essa fórmula é direta: derivada de v(x)\cdot x é v'(x)\cdot x + v(x)\cdot 1, reescrita como acima. Agora substituímos essa expressão e v=\dfrac{y}{x} na equação de Passo 2.

Passo 4

Substituindo \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx} e \dfrac{y}{x}=v em
\frac{dy}{dx}=v^{2}+v
obtemos:
v+x\frac{dv}{dx}=v^{2}+v.
Cancela-se v dos dois lados:
x\frac{dv}{dx}=v^{2}.
Essa equação é separável em v e x. Reescrevendo:
\frac{dv}{v^{2}}=\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados. Lembre que \displaystyle\int v^{-2}dv=-v^{-1}+C e \displaystyle\int x^{-1}dx=\ln|x|+C. Assim
\int \frac{dv}{v^{2}}=\int \frac{dx}{x}\quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{v}=\ln|x|+C,
onde C é constante arbitrária de integração. Agora voltamos à variável original usando v=\dfrac{y}{x}. Substituindo:
-\frac{1}{v}=-\frac{x}{y}=\ln|x|+C.
Reorganizando (e renomeando a constante, se preferir) obtemos a forma implícita conveniente:
\ln|x|+\frac{x}{y}=C_{1},
onde C_{1} é constante arbitrária.

Passo 6

Da forma implícita \ln|x|+\dfrac{x}{y}=C_{1} podemos isolar y e escrever uma forma explícita (quando y\neq0):
\frac{x}{y}=C_{1}-\ln|x|\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{x}{C_{1}-\ln|x|}.
Aqui renomeamos constantes quando convém; a família de soluções está descrita por essa expressão, com C_{1}\in\mathbb{R} e x\neq0 e C_{1}-\ln|x|\neq0 (para evitar divisão por zero). Também observe que durante a separação dividimos por v^{2}, então a possibilidade v=0 (isto é, y=0) deve ser verificada separadamente.

Passo 7

Verificação e soluções singulares:
  • Verificação da solução implícita: diferencie \ln|x|+\dfrac{x}{y}=C_{1}. Temos
\frac{1}{x}+\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{y}\right)=0.
Usando a regra do quociente (ou produto x\cdot y^{-1}):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{y - x\frac{dy}{dx}}{y^{2}}.
Portanto
\frac{1}{x}+\frac{y - x\frac{dy}{dx}}{y^{2}}=0.
Multiplicando por y^{2} e isolando \dfrac{dy}{dx} chega-se a
x\frac{dy}{dx}=y+\frac{y^{2}}{x}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\frac{y^{2}}{x^{2}},
que é exatamente a forma encontrada no Passo 2; assim a solução implícita satisfaz a EDO (para x\neq0 e y\neq0 onde fizermos as divisões). Isso verifica a solução geral obtida.
  • Solução singular y\equiv0: substituindo y=0 na equação original,
(y^{2}+yx)\,dx-x^{2}dy \quad\text{com }y=0\Rightarrow 0\cdot dx - x^{2}\cdot 0=0,
ou seja 0=0. Portanto y\equiv0 é solução (a separação teve divisão por v^{2}, logo perdemos essa possibilidade durante o processo e devemos citá-la).

Resposta

Classificação: M(x,y)=y^{2}+xy e N(x,y)=-x^{2} são homogêneas de grau 2; portanto a EDO é uma EDO homogênea de primeira ordem.
Solução geral (implícita): \displaystyle \ln|x|+\frac{x}{y}=C.
Solução geral (explícita): \displaystyle y=\frac{x}{C-\ln|x|}.
Solução singular: \displaystyle y\equiv 0.

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