Classifique, verifique e encontre a solução da Equação Linear de 1^{a} ordem aplicando o método de fator de integração.
\frac{d y}{d t}+\frac{1}{2} y=\frac{1}{2} e^{\frac{t}{3}}

Passo 1

O enunciado pede: classificar, verificar e encontrar a solução da equação
\frac{d y}{d t}+\frac{1}{2} y=\frac{1}{2} e^{\frac{t}{3}}.
Informações dadas:
\text{equação diferencial envolvendo } y(t),\quad \frac{d y}{d t} \text{ aparece numa só derivada de primeira ordem,}çãó
\text{o termo do lado direito é } \frac{1}{2}e^{\frac{t}{3}}.é
A tarefa é (1) identificar que tipo de equação é, (2) aplicar o método do fator de integração e (3) verificar que a solução obtida resolve a equação.

Passo 2

Classificação e preparação: vamos escrever a equação na forma padrão
y'(t)+p(t)\,y(t)=g(t).
Comparando com a equação dada, temos
p(t)=\frac{1}{2}\quad\text{e}\quad g(t)=\frac{1}{2}e^{\frac{t}{3}}.
Isto mostra que a equação é linear de primeira ordem e não homogênea (porque g(t)\neq 0). A ideia do método do fator de integração é multiplicar a equação por uma função \mu(t) tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(t)y(t).

Passo 3

Fator de integração: a fórmula padrão para o fator de integração é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
Aqui p(t)=\frac{1}{2} é constante, então
\mu(t)=e^{\int \frac{1}{2}\,dt}=e^{\frac{1}{2}t}.
Explicação curta do porquê: \mu'(t)=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}t}=p(t)\mu(t). Assim, multiplicando a equação original por \mu(t) o lado esquerdo se transforma em \dfrac{d}{dt}(\mu(t)y(t)).

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(t)=e^{\frac{1}{2}t}:
e^{\frac{1}{2}t}y'(t)+\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}t}y(t)=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}t}e^{\frac{t}{3}}.
Pelo cálculo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\!\left(e^{\frac{1}{2}t}y(t)\right)=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}t}e^{\frac{t}{3}}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^{\frac{1}{2}t}y(t)=\int \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}t}e^{\frac{t}{3}}\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Antes de integrar, simplificamos o integrando:
\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}t}e^{\frac{t}{3}}=\frac{1}{2}e^{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)t}=\frac{1}{2}e^{\frac{5}{6}t}.
Agora integramos:
\int \frac{1}{2}e^{\frac{5}{6}t}\,dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{5}{6}}e^{\frac{5}{6}t}=\frac{1}{2}\cdot\frac{6}{5}e^{\frac{5}{6}t}=\frac{3}{5}e^{\frac{5}{6}t}.
Portanto
e^{\frac{1}{2}t}y(t)=\frac{3}{5}e^{\frac{5}{6}t}+C.

Passo 6

Isolamos y(t) dividindo por e^{\frac{1}{2}t}:
y(t)=\frac{3}{5}e^{\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{2}\right)t}+C e^{-\frac{1}{2}t}.
Calculamos o expoente:
\frac{5}{6}-\frac{1}{2}=\frac{5}{6}-\frac{3}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Logo a solução geral fica
y(t)=\frac{3}{5}e^{\frac{t}{3}}+C e^{-\frac{t}{2}}.

Passo 7

Verificação rápida: derivamos y(t) e substituímos na equação original para checar.
Derivando:
y'(t)=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}e^{\frac{t}{3}}+C\left(-\frac{1}{2}\right)e^{-\frac{t}{2}}=\frac{1}{5}e^{\frac{t}{3}}-\frac{C}{2}e^{-\frac{t}{2}}.
Agora calculamos y'(t)+\tfrac{1}{2}y(t):
y'(t)+\frac{1}{2}y(t)=\left(\frac{1}{5}e^{\frac{t}{3}}-\frac{C}{2}e^{-\frac{t}{2}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{3}{5}e^{\frac{t}{3}}+C e^{-\frac{t}{2}}\right).
Agrupando termos:
\left(\frac{1}{5}+\frac{3}{10}\right)e^{\frac{t}{3}}+\left(-\frac{C}{2}+\frac{C}{2}\right)e^{-\frac{t}{2}}=\frac{1}{2}e^{\frac{t}{3}}+0=\frac{1}{2}e^{\frac{t}{3}}.
Isso coincide com o lado direito da equação original, então a solução está verificada.

Resposta

y(t)=\frac{3}{5}e^{\frac{t}{3}}+C e^{-\frac{t}{2}}.

Exercícios relacionados