Classifique, verifique e encontre a solução da Equação Linear de
ordem aplicando o método de fator de integração.
Passo 1
O enunciado pede: classificar, verificar e encontrar a solução da equação
Informações dadas:
A tarefa é (1) identificar que tipo de equação é, (2) aplicar o método do fator de integração e (3) verificar que a solução obtida resolve a equação.
Passo 2
Classificação e preparação: vamos escrever a equação na forma padrão
Comparando com a equação dada, temos
Isto mostra que a equação é linear de primeira ordem e não homogênea (porque
). A ideia do método do fator de integração é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
.
Passo 3
Fator de integração: a fórmula padrão para o fator de integração é
Aqui
é constante, então
Explicação curta do porquê:
. Assim, multiplicando a equação original por
o lado esquerdo se transforma em
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
:
Pelo cálculo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Antes de integrar, simplificamos o integrando:
Agora integramos:
Portanto
Passo 6
Isolamos
dividindo por
:
Calculamos o expoente:
Logo a solução geral fica
Passo 7
Verificação rápida: derivamos
e substituímos na equação original para checar.
Derivando:
Derivando:
Agora calculamos
:
Agrupando termos:
Isso coincide com o lado direito da equação original, então a solução está verificada.