Classifique, verifique e encontre a solução geral e específica da Equação Linear de
ordem aplicando o método de fator de integração.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: classificar a equação dada, verificar e encontrar a solução geral e a solução específica que satisfaça a condição inicial. A equação fornecida e a condição inicial são:
Informações importantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Para isso dividimos ambos os lados por
(permitido porque
):
Aqui identifiquei as funções que aparecem na forma padrão
:
e
. Não resolvi nada ainda; só reorganizei a equação.
Passo 3
Explicar e calcular o fator integrante.
A ideia do fator integrante é transformar o lado esquerdo em uma derivada do produto
. A fórmula do fator integrante é
A ideia do fator integrante
onde
é a função que multiplica
na forma padrão. Aqui
. Então
Usando propriedades dos logaritmos e da exponencial obtemos
Como vamos trabalhar no intervalo com
(ou seja
), podemos tomar simplesmente
Breve explicação:
é uma função que depende só de
e serve para multiplicar a equação; ao fazer isso o lado esquerdo vira
por conta da regra do produto.
Passo 4
Multiplicar a equação padrão por
. Começando de
multiplicando por
resulta em
Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto
, pois pela regra do produto
Logo a equação pode ser escrita como
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Integramos a igualdade
para obter
onde
é a constante de integração. Aqui expliquei o que é cada termo: a integral de
é
.
Passo 6
Isolar
para obter a solução geral. Dividindo por
(novamente lembrando que
) temos
Essa é a solução geral da equação diferencial. Observação didática: podemos escrever a solução geral como soma da parte particular
e da solução da equação homogênea
. A equação homogênea associada é
e sua solução é
.
Passo 7
Encontrar a solução específica que satisfaz a condição inicial
. Substituímos
em
Impondo
resulta
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 8
Verificar explicitamente que a solução específica satisfaz a equação original e a condição inicial. Primeiro verificação da condição inicial:
ok. Agora verificar na equação original
. Para
calculamos a derivada:
Então
que é exatamente o lado direito. Portanto a solução está verificada.
Passo 9
Comentários finais e domínio. A solução foi encontrada assumindo
; como a condição inicial é em
podemos considerar o intervalo
(ou qualquer intervalo que contenha
e não inclua
). A existência e unicidade garantem que a solução encontrada é a única solução contínua e diferenciável que satisfaz a condição inicial nesse intervalo.
Resposta
Solução geral:
Solução específica (com
):