Classifique, verifique e encontre a solução geral e específica da Equação Linear de 1{ }^{\mathrm{a}} ordem aplicando o método de fator de integração.
t y^{\prime}+2 y=4 t^{2} \quad y(t=1)=2

Passo 1

O enunciado pede três coisas: classificar a equação dada, verificar e encontrar a solução geral e a solução específica que satisfaça a condição inicial. A equação fornecida e a condição inicial são:
t\,y'+2y=4t^{2},\qquad y(1)=2.
Informações importantes extraídas do enunciado:
\text{(i) a equação envolve }y'\text{ e }y;\qquad\text{(ii) há um termo multiplicando }y'\text{ igual a }t,\text{ logo }t\neq0;çãá
\text{(iii) a condição inicial é em }t=1\\ (\text{portanto vamos trabalhar em um intervalo que contenha }t=1,\text{ por exemplo }t>0).çãé

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Para isso dividimos ambos os lados por t (permitido porque t\neq0):
y'+\frac{2}{t}\,y=4t.
Aqui identifiquei as funções que aparecem na forma padrão y'+p(t)y=q(t): \,p(t)=\dfrac{2}{t} e \,q(t)=4t. Não resolvi nada ainda; só reorganizei a equação.

Passo 3

Explicar e calcular o fator integrante.
A ideia do fator integrante \mu(t) é transformar o lado esquerdo em uma derivada do produto \mu(t)y. A fórmula do fator integrante é
\mu(t)=\exp\left(\int p(t)\,dt\right),
onde p(t) é a função que multiplica y na forma padrão. Aqui p(t)=\dfrac{2}{t}. Então
\mu(t)=\exp\left(\int \frac{2}{t}\,dt\right)=\exp\left(2\ln|t|\right).
Usando propriedades dos logaritmos e da exponencial obtemos
\mu(t)=|t|^{2}.
Como vamos trabalhar no intervalo com t=1 (ou seja t>0), podemos tomar simplesmente
\mu(t)=t^{2}.
Breve explicação: \mu(t) é uma função que depende só de t e serve para multiplicar a equação; ao fazer isso o lado esquerdo vira \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)y\big) por conta da regra do produto.

Passo 4

Multiplicar a equação padrão por \mu(t)=t^{2}. Começando de
y'+\frac{2}{t}y=4t,
multiplicando por t^{2} resulta em
t^{2}y'+2t\,y=4t^{3}.
Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto t^{2}y, pois pela regra do produto
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y\big)=2t\,y+t^{2}y'.
Logo a equação pode ser escrita como
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y\big)=4t^{3}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t. Integramos a igualdade
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y\big)=4t^{3}
para obter
t^{2}y=\int 4t^{3}\,dt =4\cdot \frac{t^{4}}{4}+C = t^{4}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui expliquei o que é cada termo: a integral de 4t^{3} é 4\cdot t^{4}/4 = t^{4}.

Passo 6

Isolar y para obter a solução geral. Dividindo por t^{2} (novamente lembrando que t\neq0) temos
y(t)=\frac{t^{4}+C}{t^{2}}=t^{2}+C\,t^{-2}.
Essa é a solução geral da equação diferencial. Observação didática: podemos escrever a solução geral como soma da parte particular y_{p}(t)=t^{2} e da solução da equação homogênea y_{h}(t)=C\,t^{-2}. A equação homogênea associada é y'+\dfrac{2}{t}y=0 e sua solução é y_{h}=C\,e^{-\int 2/t\,dt}=C\,t^{-2}.

Passo 7

Encontrar a solução específica que satisfaz a condição inicial y(1)=2. Substituímos t=1 em
y(1)=1^{2}+C\cdot 1^{-2}=1+C.
Impondo y(1)=2 resulta
1+C=2\quad\Rightarrow\quad C=1.
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(t)=t^{2}+t^{-2}.

Passo 8

Verificar explicitamente que a solução específica satisfaz a equação original e a condição inicial. Primeiro verificação da condição inicial:
y(1)=1^{2}+1^{-2}=1+1=2,
ok. Agora verificar na equação original t\,y'+2y=4t^{2}. Para y(t)=t^{2}+t^{-2} calculamos a derivada:
y'(t)=2t-2t^{-3}.
Então
t\,y'+2y=t(2t-2t^{-3})+2(t^{2}+t^{-2})=2t^{2}-2t^{-2}+2t^{2}+2t^{-2}=4t^{2},
que é exatamente o lado direito. Portanto a solução está verificada.

Passo 9

Comentários finais e domínio. A solução foi encontrada assumindo t\neq0; como a condição inicial é em t=1 podemos considerar o intervalo t>0 (ou qualquer intervalo que contenha 1 e não inclua 0). A existência e unicidade garantem que a solução encontrada é a única solução contínua e diferenciável que satisfaz a condição inicial nesse intervalo.

Resposta

Solução geral: \;y(t)=t^{2}+C\,t^{-2}.
Solução específica (com y(1)=2): \;y(t)=t^{2}+t^{-2}.

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