Classifique, verifique e encontre a solução da Equação Linear de
ordem aplicando o método de fator de integração.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede que eu: (1) classifique a equação; (2) verifique a solução; (3) encontre a solução aplicando o método de fator de integração. As informações relevantes são: o coeficiente de
é
e o termo do lado direito é
. Não há condição inicial dada, portanto procuraremos a solução geral (com constante arbitrária).
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão usada no método do fator de integração, que é
Aqui identifico
Agora classifico a equação com base nessas informações:
- Ordem: é de primeira ordem porque a derivada de ordem mais alta que aparece é
. - Linearidade: é linear em
porque e suas derivadas aparecem apenas com potência 1 e sem produtos não-lineares entre e . - Homogeneidade: é não homogênea porque
.
Passo 3
Explico o método do fator de integração de forma didática. A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto
. Queremos que
Pelo produto,
. Comparando com
obtemos a condição
Isto é uma equação separável para
. A solução (tomando a constante multiplicativa irrelevante) é
Aqui
é o fator de integração;
é o coeficiente de
na forma padrão; a exponencial aparece porque
.
Passo 4
Calculo o fator de integração para
:
portanto
Multiplico a equação original por
. Obtenho
Pelo que expliquei no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
(Para checar:
, que coincide.)
Passo 5
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Para calcular
faço a substituição
, então
, logo
. Assim
Incorporando a constante na constante geral
, fica
Divido por
(que nunca é zero) e obtenho a solução geral
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 6
Verifico que a solução encontrada satisfaz a equação original. Parto de
Calculo a derivada:
Agora computo o lado esquerdo da equação original:
Isto coincide exatamente com o lado direito
, logo a solução está verificada.
Passo 7
Observação sobre domínio: como
e
são definidas para todo
, a solução geral é válida em todo o eixo real. A constante
é determinada se for dada uma condição inicial.
Resposta
Classificação: equação de primeira ordem, linear e não homogênea.
Verificação: solução verificada ao substituir na equação (confere).
Solução geral: .
Verificação: solução verificada ao substituir na equação (confere).
Solução geral: