Classifique, verifique e encontre a solução da Equação Linear de 1^{a} ordem aplicando o método de fator de integração.
\frac{d y}{d x}+2 x y=x

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d y}{d x}+2 x y=x
e pede que eu: (1) classifique a equação; (2) verifique a solução; (3) encontre a solução aplicando o método de fator de integração. As informações relevantes são: o coeficiente de y é 2x e o termo do lado direito é x. Não há condição inicial dada, portanto procuraremos a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão usada no método do fator de integração, que é
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x).
Aqui identifico
P(x)=2x,\qquad Q(x)=x.
Agora classifico a equação com base nessas informações:
  • Ordem: é de primeira ordem porque a derivada de ordem mais alta que aparece é \frac{d y}{d x}.
  • Linearidade: é linear em y porque y e suas derivadas aparecem apenas com potência 1 e sem produtos não-lineares entre y e \frac{dy}{dx}.
  • Homogeneidade: é não homogênea porque Q(x)=x\neq 0.

Passo 3

Explico o método do fator de integração de forma didática. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto \mu(x)y(x). Queremos que
\mu(x)\frac{d y}{d x}+\mu(x)P(x)y=\frac{d}{d x}\big(\mu(x)y\big).
Pelo produto, \frac{d}{dx}(\mu y)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu'\,y. Comparando com \mu\frac{dy}{dx}+\mu P y obtemos a condição
\mu'(x)=\mu(x)P(x).
Isto é uma equação separável para \mu. A solução (tomando a constante multiplicativa irrelevante) é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Aqui \mu(x) é o fator de integração; P(x) é o coeficiente de y na forma padrão; a exponencial aparece porque d\mu/\mu=P.

Passo 4

Calculo o fator de integração para P(x)=2x:
\int P(x)\,dx=\int 2x\,dx=x^2,
portanto
\mu(x)=e^{x^2}.
Multiplico a equação original por \mu(x)=e^{x^2}. Obtenho
e^{x^2}\frac{d y}{d x}+2x e^{x^2} y = x e^{x^2}.
Pelo que expliquei no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{d x}\big(e^{x^2}y\big)=x e^{x^2}.
(Para checar: \frac{d}{dx}(e^{x^2}y)=e^{x^2}\frac{dy}{dx}+(2x e^{x^2})y, que coincide.)

Passo 5

Integro ambos os lados em relação a x:
e^{x^2}y=\int x e^{x^2}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Para calcular \int x e^{x^2}\,dx faço a substituição u=x^2, então du=2x\,dx, logo x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int x e^{x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{u}+\text{const}=\frac{1}{2}e^{x^2}+\text{const}.
Incorporando a constante na constante geral C, fica
e^{x^2}y=\frac{1}{2}e^{x^2}+C.
Divido por e^{x^2} (que nunca é zero) e obtenho a solução geral
y(x)=\frac{1}{2}+C e^{-x^2},
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 6

Verifico que a solução encontrada satisfaz a equação original. Parto de
y(x)=\frac{1}{2}+C e^{-x^2}.
Calculo a derivada:
\frac{d y}{d x}=C\frac{d}{dx}\big(e^{-x^2}\big)=C\big(e^{-x^2}\cdot(-2x)\big)=-2xC e^{-x^2}.
Agora computo o lado esquerdo da equação original:
\frac{d y}{d x}+2x y = -2xC e^{-x^2}+2x\Big(\frac{1}{2}+C e^{-x^2}\Big) = -2xC e^{-x^2}+x+2xC e^{-x^2}=x.
Isto coincide exatamente com o lado direito x, logo a solução está verificada.

Passo 7

Observação sobre domínio: como e^{x^2} e e^{-x^2} são definidas para todo x\in\mathbb{R}, a solução geral é válida em todo o eixo real. A constante C é determinada se for dada uma condição inicial.

Resposta

Classificação: equação de primeira ordem, linear e não homogênea.
Verificação: solução verificada ao substituir na equação (confere).
Solução geral: y(x)=\dfrac{1}{2}+C e^{-x^2}.

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