Classifique, verifique e encontre a solução geral e específica da EDO aplicando o método de Equação Homogênea.
Passo 1
Enunciado e o que pedem. Temos a equação diferencial com condição inicial:
Perguntas a responder:
- Classificar a equação (que tipo é).
- Verificar (confirmar que a solução encontrada de fato satisfaz a EDO).
- Encontrar a solução geral.
- Encontrar a solução particular que satisfaça
.
Informações dadas: a EDO e a condição inicial
. Não há figura nem tabela. Só a equação e o ponto inicial.
Passo 2
Observação útil (identificando dependência em
). Divido a equação por
(assumindo
) para obter uma forma mais clara:
Reparou? O segundo membro depende apenas da razão
. Sempre que a EDO pode ser escrita como
é conveniente usar a substituição
Explico por que: isso transforma a variável
numa nova função
que muitas vezes torna a equação separável ou mais simples.
Passo 3
Calcular
em função de
e
. Usando a regra do produto em
:
Agora substituímos isso e
na equação original:
Note que os termos
em ambos os lados se cancelam, ficando uma equação só em
e
.
Passo 4
Obter a equação separável e integrar. Após cancelar
temos:
Isolamos variáveis para integrar:
Explico a técnica: “separar variáveis” significa colocar todas as ocorrências de
(e
) de um lado e todas as de
(e
) do outro, permitindo integrar cada lado independentemente.
Integramos ambos os lados. À esquerda use a substituição óbvia
ou reconhecer que
. Então
Isso dá
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Resolver para
e voltar para
. A partir de
multiplicamos por
e renomeamos a constante para obter forma mais limpa. Chamando
(outro número arbitrário), obtemos
Como
, a quantidade
deve ser positiva — essa é a condição de domínio da solução. Agora tomamos logaritmo (lembrando de que
):
Logo
Lembrando que
, substituímos para obter a solução geral em termos de
:
Aqui
é a constante arbitrária de integração (pode simplesmente escrever
na resposta final).
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para obter a solução particular. Substituímos
e
na expressão geral:
Como
, isso vira
Portanto a solução particular (que satisfaz
) é
Passo 7
Verificação rápida da solução (garantia que realmente satisfaz a EDO). Já que derivámos a solução por meio da substituição
e da integração correta, ela já satisfaz a equação diferencial desde que as manipulações sejam válidas. Para conferir algebricamente, usando
temos a relação intermediária que obtivemos:
Multiplicando por
e somando
obtemos
que é exatamente a EDO original. Assim a solução geral e a particular verificam a equação (com as restrições de domínio já indicadas).
Observação sobre domínio da solução particular: como precisamos de
, a solução particular é válida enquanto
Também lembramos que
porque dividimos por
no início.
Resposta
Classificação: Equação diferencial ordinária de primeira ordem, homogênea no sentido de que o membro direito depende apenas de
; não é linear.
Solução geral:
onde
é constante arbitrária e deve valer
no domínio considerado.
Solução particular com
:
válida para
(e
).