Classifique, verifique e encontre a solução geral e específica da EDO aplicando o método de Equação Homogênea.
x \frac{d y}{d x}=y+x e^{\frac{y}{x}} \quad y(1)=1

Passo 1

Enunciado e o que pedem. Temos a equação diferencial com condição inicial:
x\frac{dy}{dx}=y+x e^{\frac{y}{x}},\qquad y(1)=1.
Perguntas a responder:
  1. Classificar a equação (que tipo é).
  2. Verificar (confirmar que a solução encontrada de fato satisfaz a EDO).
  3. Encontrar a solução geral.
  4. Encontrar a solução particular que satisfaça y(1)=1.
Informações dadas: a EDO e a condição inicial y(1)=1. Não há figura nem tabela. Só a equação e o ponto inicial.

Passo 2

Observação útil (identificando dependência em y/x). Divido a equação por x (assumindo x\neq 0) para obter uma forma mais clara:
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+e^{\frac{y}{x}}.
Reparou? O segundo membro depende apenas da razão \frac{y}{x}. Sempre que a EDO pode ser escrita como \frac{dy}{dx}=F\!\left(\frac{y}{x}\right) é conveniente usar a substituição
\text{coloque } v=\frac{y}{x}\quad\text{ou seja}\quad y=vx.
Explico por que: isso transforma a variável y numa nova função v(x) que muitas vezes torna a equação separável ou mais simples.

Passo 3

Calcular \frac{dy}{dx} em função de v e \frac{dv}{dx}. Usando a regra do produto em y=vx:
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Agora substituímos isso e y/x=v na equação original:
v+x\frac{dv}{dx}=v+e^{v}.
Note que os termos v em ambos os lados se cancelam, ficando uma equação só em v e x.

Passo 4

Obter a equação separável e integrar. Após cancelar v temos:
x\frac{dv}{dx}=e^{v}.
Isolamos variáveis para integrar:
\frac{dv}{e^{v}}=\frac{dx}{x}.
Explico a técnica: “separar variáveis” significa colocar todas as ocorrências de v (e dv) de um lado e todas as de x (e dx) do outro, permitindo integrar cada lado independentemente.
Integramos ambos os lados. À esquerda use a substituição óbvia w=e^{-v} ou reconhecer que \int e^{-v}dv=-e^{-v}. Então
\int e^{-v}\,dv=\int \frac{dx}{x}.
Isso dá
- e^{-v}=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Resolver para v e voltar para y. A partir de
- e^{-v}=\ln|x|+C
multiplicamos por -1 e renomeamos a constante para obter forma mais limpa. Chamando C_1=-C (outro número arbitrário), obtemos
e^{-v}=C_1-\ln|x|.
Como e^{-v}>0, a quantidade C_1-\ln|x| deve ser positiva — essa é a condição de domínio da solução. Agora tomamos logaritmo (lembrando de que C_1-\ln|x|>0):
-v=\ln\!\big(C_1-\ln|x|\big).
Logo
v=-\ln\!\big(C_1-\ln|x|\big).
Lembrando que v=\dfrac{y}{x}, substituímos para obter a solução geral em termos de y:
y=xv=-x\ln\!\big(C_1-\ln|x|\big).
Aqui C_1 é a constante arbitrária de integração (pode simplesmente escrever C na resposta final).

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(1)=1 para obter a solução particular. Substituímos x=1 e y(1)=1 na expressão geral:
1=-1\cdot\ln\!\big(C_1-\ln|1|\big).
Como \ln|1|=0, isso vira
1=-\ln(C_1)\quad\Rightarrow\quad \ln(C_1)=-1\quad\Rightarrow\quad C_1=e^{-1}=\frac{1}{e}.
Portanto a solução particular (que satisfaz y(1)=1) é
y=-x\ln\!\left(\frac{1}{e}-\ln|x|\right).

Passo 7

Verificação rápida da solução (garantia que realmente satisfaz a EDO). Já que derivámos a solução por meio da substituição v=y/x e da integração correta, ela já satisfaz a equação diferencial desde que as manipulações sejam válidas. Para conferir algebricamente, usando v=\frac{y}{x} temos a relação intermediária que obtivemos:
x\frac{dv}{dx}=e^{v}.
Multiplicando por x e somando vx obtemos
x\left(v+x\frac{dv}{dx}\right)=xv+xe^{v}\quad\Rightarrow\quad x\frac{dy}{dx}=y+xe^{y/x},
que é exatamente a EDO original. Assim a solução geral e a particular verificam a equação (com as restrições de domínio já indicadas).
Observação sobre domínio da solução particular: como precisamos de \frac{1}{e}-\ln|x|>0, a solução particular é válida enquanto
\ln|x|<\frac{1}{e}\quad\Leftrightarrow\quad |x|<e^{1/e}.
Também lembramos que x\neq 0 porque dividimos por x no início.

Resposta

Classificação: Equação diferencial ordinária de primeira ordem, homogênea no sentido de que o membro direito depende apenas de \dfrac{y}{x}; não é linear.
Solução geral: y=-x\ln\!\big(C-\ln|x|\big),
onde C é constante arbitrária e deve valer C-\ln|x|>0 no domínio considerado.
Solução particular com y(1)=1: y=-x\ln\!\left(\frac{1}{e}-\ln|x|\right),
válida para |x|<e^{1/e} (e x\neq 0).

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