Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Variáveis Separáveis.
\frac{d y}{d x}=e^{3 x+2 y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=e^{3x+2y}
e pede três coisas: classificar a EDO, verificar que é do tipo “variáveis separáveis” e encontrar a solução geral aplicando o método de variáveis separáveis. Informações relevantes: a função do lado direito é e^{3x+2y}, que pode ser fatorada como produto de uma função de x por uma função de y. Não há outros dados (condição inicial), então queremos a família geral de soluções com uma constante de integração.

Passo 2

Verificação de separabilidade (mostrar passo a passo que dá para separar x e y).
Começo por escrever o lado direito como produto:
e^{3x+2y}=e^{3x}\,e^{2y}.
Assim a EDO fica
\frac{dy}{dx}=e^{3x}\,e^{2y}.
Para separar variáveis, quero deixar todos os termos com y multiplicando dy e todos os termos com x multiplicando dx. Divido ambos os lados por e^{2y} (que é sempre distinto de zero) e multiplico por dx:
e^{-2y}\,dy = e^{3x}\,dx.
Isso mostra explicitamente que a equação é separável: um lado só depende de y e o outro só de x.

Passo 3

Explicação curta da técnica: “variáveis separáveis” significa escrever a EDO na forma
g(y)\,dy = h(x)\,dx,
então integrar ambos os lados. Aqui g(y)=e^{-2y} e h(x)=e^{3x}. A integral de uma exponencial e^{k u} em relação a u é \frac{1}{k}e^{k u} porque a derivada de e^{k u} é k e^{k u}. Vou usar isso nas integrais abaixo.

Passo 4

Integrar ambos os lados:
\int e^{-2y}\,dy = \int e^{3x}\,dx.
Calculo cada integral com cuidado:
Para o lado esquerdo, use k=-2. Então
\int e^{-2y}\,dy = \frac{1}{-2}e^{-2y} + C_1 = -\frac{1}{2}e^{-2y} + C_1.
Para o lado direito, use k=3. Então
\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C_2.
Juntando e combinando as constantes (posso subtrair C_1 e C_2 para ter uma só constante C), obtenho
-\frac{1}{2}e^{-2y} = \frac{1}{3}e^{3x} + C,
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 5

Isolar e^{-2y} e reorganizar a constante de uma forma conveniente:
Multiplico por -2:
e^{-2y} = -\frac{2}{3}e^{3x} + C',
onde C'=-2C é outra constante arbitrária real. Para simplificar a notação, renomeio C' de volta para C. Assim
e^{-2y} = C - \frac{2}{3}e^{3x}.

Passo 6

Obter y explicitamente. Como e^{-2y}>0 para todo y, o membro direito deve ser positivo no domínio onde a solução é válida; vou tratar dessa condição depois. Tomando o logaritmo natural:
Primeiro inverter o expoente:
e^{2y} = \frac{1}{C - \frac{2}{3}e^{3x}}.
Agora aplicar \ln:
2y = \ln\!\left(\frac{1}{C - \frac{2}{3}e^{3x}}\right) = -\ln\!\left(C - \frac{2}{3}e^{3x}\right).
Portanto a solução explícita é
y(x) = -\frac{1}{2}\ln\!\left(C - \frac{2}{3}e^{3x}\right),
onde C é constante real.

Passo 7

Condições de validade e observações finais (importante para a prova):
  • Como aparece \ln de C - \tfrac{2}{3}e^{3x}, precisamos de
C - \frac{2}{3}e^{3x} > 0
para que y(x) seja real. Isso determina o intervalo de x onde a solução com dada constante C é válida. Por exemplo, se C\le 0 então não existe x real que satisfaça a desigualdade (pois e^{3x}>0), então tais C não geram uma solução real. Para cobrir todas as soluções reais basta considerar constantes C>0 e o subconjunto de x tal que e^{3x} < \tfrac{3}{2}C, ou trabalhar com a solução implícita e^{-2y}=C-\tfrac{2}{3}e^{3x} e interpretar domínios caso a caso.
  • Não há solução constante (equilíbrio) porque e^{3x+2y}>0 para todo x,y, então \frac{dy}{dx} nunca é zero.

Resposta

Classificação: equação diferencial ordinária de primeira ordem, não linear e separável.
Verificação: pode ser escrita como e^{-2y}\,dy = e^{3x}\,dx, logo é separável.
Solução geral: y(x)=-\frac{1}{2}\ln\!\left(C-\frac{2}{3}e^{3x}\right),
com constante C\in\mathbb{R} e validade onde C-\frac{2}{3}e^{3x}>0.

Exercícios relacionados