Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Variáveis Separáveis.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede três coisas: classificar a EDO, verificar que é do tipo “variáveis separáveis” e encontrar a solução geral aplicando o método de variáveis separáveis. Informações relevantes: a função do lado direito é
, que pode ser fatorada como produto de uma função de
por uma função de
. Não há outros dados (condição inicial), então queremos a família geral de soluções com uma constante de integração.
Passo 2
Verificação de separabilidade (mostrar passo a passo que dá para separar
e
).
Começo por escrever o lado direito como produto:
Assim a EDO fica
Para separar variáveis, quero deixar todos os termos com
multiplicando
e todos os termos com
multiplicando
. Divido ambos os lados por
(que é sempre distinto de zero) e multiplico por
:
Isso mostra explicitamente que a equação é separável: um lado só depende de
e o outro só de
.
Passo 3
Explicação curta da técnica: “variáveis separáveis” significa escrever a EDO na forma
então integrar ambos os lados. Aqui
e
. A integral de uma exponencial
em relação a
é
porque a derivada de
é
. Vou usar isso nas integrais abaixo.
Passo 4
Integrar ambos os lados:
Calculo cada integral com cuidado:
Para o lado esquerdo, use
. Então
Para o lado direito, use
. Então
Juntando e combinando as constantes (posso subtrair
e
para ter uma só constante
), obtenho
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 5
Isolar
e reorganizar a constante de uma forma conveniente:
Multiplico por
:
onde
é outra constante arbitrária real. Para simplificar a notação, renomeio
de volta para
. Assim
Passo 6
Obter
explicitamente. Como
para todo
, o membro direito deve ser positivo no domínio onde a solução é válida; vou tratar dessa condição depois. Tomando o logaritmo natural:
Primeiro inverter o expoente:
Agora aplicar
:
Portanto a solução explícita é
onde
é constante real.
Passo 7
Condições de validade e observações finais (importante para a prova):
- Como aparece
de , precisamos de
para que
seja real. Isso determina o intervalo de
onde a solução com dada constante
é válida. Por exemplo, se
então não existe
real que satisfaça a desigualdade (pois
), então tais
não geram uma solução real. Para cobrir todas as soluções reais basta considerar constantes
e o subconjunto de
tal que
, ou trabalhar com a solução implícita
e interpretar domínios caso a caso.
- Não há solução constante (equilíbrio) porque
para todo , então nunca é zero.
Resposta
Classificação: equação diferencial ordinária de primeira ordem, não linear e separável.
Verificação: pode ser escrita como
, logo é separável.
Solução geral:
com constante
e validade onde
.