Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Variáveis Separáveis.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
As perguntas são: classificar a EDO, verificar a solução e encontrar a solução geral aplicando o método de variáveis separáveis. As informações relevantes: a equação relaciona a derivada de
com uma função que depende só de
(a função seno de
). Não há condição inicial fornecida.
Passo 2
Classificação: vamos identificar características importantes da EDO dadas no enunciado.
- É uma equação diferencial ordinária (EDO) porque envolve derivada em relação a uma única variável independente
. - É de primeira ordem porque aparece somente
(nenhuma derivada de ordem maior). - É explícita porque a derivada
está isolada no lado esquerdo. - É separável porque o lado direito é uma função de
apenas (podemos escrever a equação de modo que os termos envolvendo fiquem de um lado e os envolvendo do outro). Aqui, implicitamente, o fator que multiplia é , que depende só de .
Portanto, classificação final: EDO ordinária, de primeira ordem, explícita e separável.
Passo 3
Princípio do método de variáveis separáveis (mini-aula): a ideia é reescrever a EDO na forma
ou equivalentemente
de modo que todo termo que envolve
fique multiplicando
e todo termo que envolve
fique multiplicando
. Depois integra-se ambos os lados:
Aqui
é a constante de integração, e o resultado fornece a solução implícita ou explícita
. No nosso problema temos
e
.
Passo 4
Aplicando separação de variáveis ao nosso caso: escrever a EDO como
Agora integramos ambos os lados em relação à sua variável:
O lado esquerdo é simples:
No lado direito usamos a fórmula de integração de uma seno com argumento linear: para constante
temos
. (Derivação curta: com
temos
, então
.)
Aplicando com :
Aplicando com
Igualando os dois lados (absorvendo as constantes em uma só constante
) obtemos
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 5
Verificação da solução (mini-aula sobre a regra da cadeia): para checar que a solução encontrada está correta derivamos
e vemos se recuperamos a EDO original. Temos
Derivando em relação a
: a derivada de
é
pela regra da cadeia (se
, então
). Assim
Isso coincide exatamente com a equação dada, logo a solução está verificada.
Passo 6
Observações finais e domínio: a constante
é arbitrária em
. A solução é válida para todos
(o coseno e seno são definidos para todos os reais), então o domínio natural é
salvo escolha contrária por uma condição inicial.
Resposta
Classificação: EDO ordinária de primeira ordem, explícita e separável.
Verificação: a solução satisfaz
.
Solução geral: , com
.
Verificação: a solução
Solução geral: