Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Variáveis Separáveis.
\frac{d y}{d x}=\operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\operatorname{sen}(2 x).
As perguntas são: classificar a EDO, verificar a solução e encontrar a solução geral aplicando o método de variáveis separáveis. As informações relevantes: a equação relaciona a derivada de y com uma função que depende só de x (a função seno de 2x). Não há condição inicial fornecida.

Passo 2

Classificação: vamos identificar características importantes da EDO dadas no enunciado.
  • É uma equação diferencial ordinária (EDO) porque envolve derivada em relação a uma única variável independente x.
  • É de primeira ordem porque aparece somente \frac{dy}{dx} (nenhuma derivada de ordem maior).
  • É explícita porque a derivada \frac{dy}{dx} está isolada no lado esquerdo.
  • É separável porque o lado direito é uma função de x apenas (podemos escrever a equação de modo que os termos envolvendo y fiquem de um lado e os envolvendo x do outro). Aqui, implicitamente, o fator que multiplia dy é 1, que depende só de y.
Portanto, classificação final: EDO ordinária, de primeira ordem, explícita e separável.

Passo 3

Princípio do método de variáveis separáveis (mini-aula): a ideia é reescrever a EDO na forma
g(y)\,\frac{d y}{d x}=h(x),
ou equivalentemente
g(y)\,dy = h(x)\,dx,
de modo que todo termo que envolve y fique multiplicando dy e todo termo que envolve x fique multiplicando dx. Depois integra-se ambos os lados:
\int g(y)\,dy = \int h(x)\,dx + C.
Aqui C é a constante de integração, e o resultado fornece a solução implícita ou explícita y(x). No nosso problema temos g(y)=1 e h(x)=\operatorname{sen}(2x).

Passo 4

Aplicando separação de variáveis ao nosso caso: escrever a EDO como
dy = \operatorname{sen}(2x)\,dx.
Agora integramos ambos os lados em relação à sua variável:
\int dy = \int \operatorname{sen}(2x)\,dx.
O lado esquerdo é simples:
\int dy = y + C_1.
No lado direito usamos a fórmula de integração de uma seno com argumento linear: para constante a temos \int \sin(ax)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax)+\text{constante}. (Derivação curta: com u=ax temos du=a\,dx, então \int \sin(ax)\,dx = \int \sin(u)\,\frac{du}{a} = -\frac{1}{a}\cos(u)+\text{constante} = -\frac{1}{a}\cos(ax)+\text{constante}.)
Aplicando com a=2:
\int \operatorname{sen}(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C_2.
Igualando os dois lados (absorvendo as constantes em uma só constante C) obtemos
y = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C,
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 5

Verificação da solução (mini-aula sobre a regra da cadeia): para checar que a solução encontrada está correta derivamos y(x) e vemos se recuperamos a EDO original. Temos
y(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C.
Derivando em relação a x: a derivada de \cos(2x) é -2\sin(2x) pela regra da cadeia (se u(x)=2x, então \frac{d}{dx}\cos(u(x)) = -\sin(u(x))\cdot u'(x) = -\sin(2x)\cdot 2). Assim
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}\cdot\bigl(-2\sin(2x)\bigr) + 0 = \sin(2x).
Isso coincide exatamente com a equação dada, logo a solução está verificada.

Passo 6

Observações finais e domínio: a constante C é arbitrária em \mathbb{R}. A solução é válida para todos x\in\mathbb{R} (o coseno e seno são definidos para todos os reais), então o domínio natural é \mathbb{R} salvo escolha contrária por uma condição inicial.

Resposta

Classificação: EDO ordinária de primeira ordem, explícita e separável.
Verificação: a solução y(x)=-\dfrac{1}{2}\cos(2x)+C satisfaz \dfrac{dy}{dx}=\sin(2x).
Solução geral: y(x)=-\dfrac{1}{2}\cos(2x)+C, com C\in\mathbb{R}.

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