Observe a sequência de números
. Sua construção seguiu um padrão de regularidade.
a) Considerando esse padrão, registre os três próximos termos da sequência.
b) Qual é a lei matemática geradora dessa sequência numérica?
c) O número 78.732 pertence a essa sequência? E o número 19.683 ? Em caso afirmativo, qual é a posição ocupada por esses números na sequência? Apresente argumentos que justificam a sua resposta.
a) Considerando esse padrão, registre os três próximos termos da sequência.
b) Qual é a lei matemática geradora dessa sequência numérica?
c) O número 78.732 pertence a essa sequência? E o número 19.683 ? Em caso afirmativo, qual é a posição ocupada por esses números na sequência? Apresente argumentos que justificam a sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de números
e pede três coisas:
- (a) Registrar os três próximos termos da sequência.
- (b) Determinar a lei matemática geradora da sequência (uma fórmula para o termo geral).
- (c) Verificar se os números
e pertencem à sequência e, em caso afirmativo, indicar a posição que ocupam.
Observação: para evitar ambiguidade com separador decimal, vou trabalhar com os inteiros correspondentes aos números do item (c), escrevendo-os como
e
(estes valores são iguais a
e
do enunciado).
Passo 2
Vou investigar o padrão olhando para a razão entre termos consecutivos (isso mostra se há multiplicação por um número fixo).
Calculemos:
Calculemos:
Todos os quocientes entre termos consecutivos deram
. Portanto cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por
.
Passo 3
Explicando a propriedade usada (aula rápida e prática).
Uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chama-se progressão geométrica (PG). Se
é o primeiro termo e
a razão, então os primeiros termos são
Uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante
e o termo geral (o termo na posição
) é
Aqui:
-
é o -ésimo termo (o que queremos calcular), -
é o primeiro termo, -
é a razão (fator multiplicativo constante), -
é um inteiro positivo ( ).
Passo 4
Aplicando ao nosso caso:
e
. Pelo fórmula da PG,
Podemos simplificar essa expressão notando que
, então
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é mais compacta e às vezes mais conveniente.
Passo 5
Resposta do item (a): calcular os três próximos termos depois de
.
O termo é o quinto termo (
). Usando a razão
basta multiplicar por
repetidamente:
O termo
Também é possível conferir com a fórmula: por exemplo
e assim por diante.
Passo 6
Como testar se um número
pertence à sequência (metodologia didática).
Partimos da equação
Partimos da equação
Isolando
,
Para existir um
inteiro positivo que satisfaça isso,
precisa ser uma potência inteira de
, isto é, deve existir inteiro
tal que
Uma outra forma equivalente:
, e
pertence à sequência somente se
for um número inteiro.
Passo 7
Aplicando o teste ao número
(que corresponde a
do enunciado).
Calcule
Calcule
Verificamos se
é potência de
. Fazendo potências de
:
Portanto
. Logo
o que significa
, isto é
e portanto
. Conclusão:
pertence à sequência e ocupa a posição
.
Passo 8
Aplicando o teste ao número
(que corresponde a
do enunciado).
Calcule
Calcule
Esse resultado não é inteiro nem é potência inteira de
. Outra observação imediata: para
temos
, que é múltiplo de
; já
não é divisível por
. Para
os termos são fracionais (denominador potência de
), logo também não coincidem com o inteiro
. Portanto não existe inteiro
tal que
. Conclusão:
não pertence à sequência.
Resposta
(a)
(b)
para
(c)
pertence (posição
);
não pertence.