Observe a sequência de números \left(\frac{4}{9}, \frac{4}{3}, 4,12,36, \ldots\right). Sua construção seguiu um padrão de regularidade.
a) Considerando esse padrão, registre os três próximos termos da sequência.
b) Qual é a lei matemática geradora dessa sequência numérica?
c) O número 78.732 pertence a essa sequência? E o número 19.683 ? Em caso afirmativo, qual é a posição ocupada por esses números na sequência? Apresente argumentos que justificam a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a sequência de números
\left(\frac{4}{9},\;\frac{4}{3},\;4,\;12,\;36,\;\ldots\right)
e pede três coisas:
  • (a) Registrar os três próximos termos da sequência.
  • (b) Determinar a lei matemática geradora da sequência (uma fórmula para o termo geral).
  • (c) Verificar se os números 78{.}732 e 19{.}683 pertencem à sequência e, em caso afirmativo, indicar a posição que ocupam.
Observação: para evitar ambiguidade com separador decimal, vou trabalhar com os inteiros correspondentes aos números do item (c), escrevendo-os como 78732 e 19683 (estes valores são iguais a 78{.}732 e 19{.}683 do enunciado).

Passo 2

Vou investigar o padrão olhando para a razão entre termos consecutivos (isso mostra se há multiplicação por um número fixo).
Calculemos:
\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{9}}=\frac{4}{3}\cdot\frac{9}{4}=3, \qquad \frac{4}{\frac{4}{3}}=\frac{4}{1}\cdot\frac{3}{4}=3, \qquad \frac{12}{4}=3, \qquad \frac{36}{12}=3.
Todos os quocientes entre termos consecutivos deram 3. Portanto cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por 3.

Passo 3

Explicando a propriedade usada (aula rápida e prática).
Uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante r chama-se progressão geométrica (PG). Se a_1 é o primeiro termo e r a razão, então os primeiros termos são
a_1,\quad a_1 r,\quad a_1 r^2,\quad a_1 r^3,\\ \ldots
e o termo geral (o termo na posição n) é
a_n = a_1\, r^{\,n-1}.
Aqui:
  • a_n é o n-ésimo termo (o que queremos calcular),
  • a_1 é o primeiro termo,
  • r é a razão (fator multiplicativo constante),
  • n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots).

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: a_1=\dfrac{4}{9} e r=3. Pelo fórmula da PG,
a_n=\frac{4}{9}\cdot 3^{\,n-1}.
Podemos simplificar essa expressão notando que 9=3^2, então
a_n=\frac{4}{3^2}\cdot 3^{\,n-1}=4\cdot 3^{\,n-3}.
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é mais compacta e às vezes mais conveniente.

Passo 5

Resposta do item (a): calcular os três próximos termos depois de 36.
O termo 36 é o quinto termo ( a_5=36). Usando a razão 3 basta multiplicar por 3 repetidamente:
a_6 = 36\cdot 3 = 108, \qquad a_7 = 108\cdot 3 = 324, \qquad a_8 = 324\cdot 3 = 972.
Também é possível conferir com a fórmula: por exemplo
a_6 = 4\cdot 3^{6-3}=4\cdot 3^3=4\cdot 27=108,
e assim por diante.

Passo 6

Como testar se um número X pertence à sequência (metodologia didática).
Partimos da equação
X=a_n=4\cdot 3^{\,n-3}.
Isolando n,
3^{\,n-3}=\frac{X}{4}.
Para existir um n inteiro positivo que satisfaça isso, \dfrac{X}{4} precisa ser uma potência inteira de 3, isto é, deve existir inteiro k tal que
\frac{X}{4}=3^k,\qquad\text{com }k=n-3.
Uma outra forma equivalente: n=3+\log_3\!\left(\dfrac{X}{4}\right), e X pertence à sequência somente se \log_3\!\left(\dfrac{X}{4}\right) for um número inteiro.

Passo 7

Aplicando o teste ao número 78732 (que corresponde a 78{.}732 do enunciado).
Calcule
\frac{78732}{4}=19683.
Verificamos se 19683 é potência de 3. Fazendo potências de 3:
3^5=243,\;3^6=729,\;3^7=2187,\;3^8=6561,\;3^9=19683.
Portanto 19683=3^9. Logo
\frac{78732}{4}=3^9,
o que significa 3^{\,n-3}=3^9, isto é n-3=9 e portanto n=12. Conclusão: 78732 pertence à sequência e ocupa a posição n=12.

Passo 8

Aplicando o teste ao número 19683 (que corresponde a 19{.}683 do enunciado).
Calcule
\frac{19683}{4}=4920{,}75.
Esse resultado não é inteiro nem é potência inteira de 3. Outra observação imediata: para n\ge 3 temos a_n=4\cdot 3^{n-3}, que é múltiplo de 4; já 19683 não é divisível por 4. Para n<3 os termos são fracionais (denominador potência de 3), logo também não coincidem com o inteiro 19683. Portanto não existe inteiro n tal que a_n=19683. Conclusão: 19683 não pertence à sequência.

Resposta

(a) 108,\;324,\;972
(b) a_n=\dfrac{4}{9}\cdot 3^{\,n-1}=4\cdot 3^{\,n-3} para n=1,2,3,\dots
(c) 78732 pertence (posição n=12); 19683 não pertence.

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