Um cliente que chega ao restaurante de comida a quilo Projectus em até 3 minutos após a saída do cliente anterior receberá um desconto de
. Se este tempo estiver entre 3 e 5 minutos o desconto é de
, Se o intervalo de tempo for maior do que 5 minutos, o cliente ganha
de desconto. O intervalo de tempo entre chegadas dos clientes segue uma exponencial com média de 4 minutos. Considerando-se esses valores, determine:
Qual o desconto esperado de um cliente que freqüenta o Projectus?
Qual o desconto esperado de um cliente que freqüenta o Projectus?
Passo 1
Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um restaurante chamado Projectus que dá descontos aos clientes com base no tempo em que eles chegam após o cliente anterior sair. O tempo entre as chegadas dos clientes segue uma distribuição exponencial com média de 4 minutos. Nosso objetivo é calcular o desconto esperado que um cliente vai receber ao frequentar o restaurante.
Passo 2
Primeiro, vamos resumir as regras de desconto:
- 8% de desconto se o cliente chega em até 3 minutos após o anterior.
- 5% de desconto se chega entre 3 e 5 minutos.
- 2% de desconto se chega após 5 minutos.
Distribuição Exponencial:
A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. A função de densidade dessa distribuição é:
A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. A função de densidade dessa distribuição é:
Onde:
- $ \mu $ é a média, que nesse caso é 4 minutos.
- $ t $ é o tempo decorrido.
Passo 3
Para encontrar o desconto esperado (E[d]), vamos calcular a probabilidade de cada intervalo de tempo e multiplicar pelo desconto correspondente.
A fórmula geral para o valor esperado é:
Onde:
- $ D_1 = 8% $
- $ D_2 = 5% $
- $ D_3 = 2% $
Passo 4
Agora, vamos calcular cada probabilidade usando a função de distribuição cumulativa da exponencial:
Então:
- Para $ t \leq 3 $ minutos:
- Para $ 3 < t \leq 5 $ minutos:
- Para $ t > 5 $ minutos:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula do valor esperado:
Calculando cada termo:
Passo 6
Somando todos os termos:
Resposta
O desconto esperado de um cliente que frequenta o Projectus é de aproximadamente 5,7 %.