Um cliente que chega ao restaurante de comida a quilo Projectus em até 3 minutos após a saída do cliente anterior receberá um desconto de 8 %. Se este tempo estiver entre 3 e 5 minutos o desconto é de 5 %, Se o intervalo de tempo for maior do que 5 minutos, o cliente ganha 2 % de desconto. O intervalo de tempo entre chegadas dos clientes segue uma exponencial com média de 4 minutos. Considerando-se esses valores, determine: (1,5 pt)
Qual o desconto esperado de um cliente que freqüenta o Projectus?

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um restaurante chamado Projectus que dá descontos aos clientes com base no tempo em que eles chegam após o cliente anterior sair. O tempo entre as chegadas dos clientes segue uma distribuição exponencial com média de 4 minutos. Nosso objetivo é calcular o desconto esperado que um cliente vai receber ao frequentar o restaurante.

Passo 2

Primeiro, vamos resumir as regras de desconto:
  • 8% de desconto se o cliente chega em até 3 minutos após o anterior.
  • 5% de desconto se chega entre 3 e 5 minutos.
  • 2% de desconto se chega após 5 minutos.
Distribuição Exponencial:
A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. A função de densidade dessa distribuição é:
f(t) = 1mu e^-t/mu
Onde:
  • $ \mu $ é a média, que nesse caso é 4 minutos.
  • $ t $ é o tempo decorrido.

Passo 3

Para encontrar o desconto esperado (E[d]), vamos calcular a probabilidade de cada intervalo de tempo e multiplicar pelo desconto correspondente.
A fórmula geral para o valor esperado é:
E[d] = D1 cdot P(t <= 3) + D2 cdot P(3 < t <= 5) + D3 cdot P(t > 5)
Onde:
  • $ D_1 = 8% $
  • $ D_2 = 5% $
  • $ D_3 = 2% $

Passo 4

Agora, vamos calcular cada probabilidade usando a função de distribuição cumulativa da exponencial:
P(t <= a) = 1 - e^-a/mu
Então:
  1. Para $ t \leq 3 $ minutos:
t <= 3
  1. Para $ 3 < t \leq 5 $ minutos:
P(t <= 3) = 1 - e^-3/4 approx 1 - e^-0.75 approx 1 - 0.4724 approx 0.5276
  1. Para $ t > 5 $ minutos:
3 < t <= 5

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula do valor esperado:
E[d] = 0.08 times 0.5276 + 0.05 times 0.1859 + 0.02 times 0.2865
Calculando cada termo:
0.08 times 0.5276 approx 0.0422
0.05 times 0.1859 approx 0.0093
0.02 times 0.2865 approx 0.0057

Passo 6

Somando todos os termos:
E[d] = 0.0422 + 0.0093 + 0.0057 approx 0.0572

Resposta

O desconto esperado de um cliente que frequenta o Projectus é de aproximadamente 5,7 %.

Exercícios relacionados