Em um Sistema de fila Marcoviano com um único servidor, mediu-se o número médio de clientes no sistema, encontrando-se o valor 6. Considerando-se que o tempo médio gasto no sistema por cliente é
, pede-se calcular a probabilidade de o número de clientes na fila ser inferior a 4. (
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente está lidando com um sistema de filas Markoviano com um servidor só. O exercício nos dá duas informações principais: o número médio de clientes no sistema é 6 e o tempo médio que cada cliente passa no sistema é de 2 horas. A gente precisa descobrir a probabilidade de ter menos de 4 clientes na fila. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Teoria das Filas, especificamente o modelo M/M/1.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as taxas de chegada e de atendimento. No modelo M/M/1, temos duas taxas importantes:
- λ (lambda): taxa média de chegada dos clientes.
- μ (miu): taxa média de atendimento dos clientes.
Sabemos que o número médio de clientes no sistema ($ L
\lambda
W $) pela fórmula:
Aqui, $ L = 6 $ e $ W = 2 $ horas. Então, podemos calcular $ \lambda $:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a taxa de atendimento $ \mu $. No modelo M/M/1, a utilização do sistema $ \rho $ é dada por:
E também sabemos que:
Substituindo $ L = 6 $:
Agora, resolvendo para $ \mu $:
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade de que o número de clientes na fila seja menor que 4. No modelo M/M/1, a probabilidade de ter exatamente $ n $ clientes no sistema é dada por:
Mas como queremos a fila ter menos de 4 clientes, estamos interessados na probabilidade de ter até 4 clientes na fila. Como a fila não inclui o cliente sendo atendido, isso corresponde a ter até 5 clientes no sistema (1 sendo atendido + 4 na fila).
Então, a probabilidade acumulada é:
Substituindo $ \rho = \frac{6}{7} $:
Então, aproximadamente 66,51% de chance de ter menos de 4 clientes na fila.
Resposta
A probabilidade de ter menos de 4 clientes na fila é aproximadamente 66,5%.