Uma clínica especializada trata de 3 tipos de moléstias: X, Y e Z 50% dos que procuram a clínica são portadores de X, 40% são portadores de Y e 10% de Z. As probabilidades de cura, nessa clínica, são: moléstia X: 0,8, moléstia Y: 0,9 e moléstia Z: 0,95. Um enfermo saiu curado da clínica. Qual a probabilidade de que ele sofresse da moléstia Y ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que numa clínica 50% dos pacientes têm moléstia X, 40% têm Y e 10% têm Z. As chances de cura são:
  • X → 0,8
  • Y → 0,9
  • Z → 0,95
Queremos saber: dado que o paciente saiu curado, qual a probabilidade de ele ter tido Y?
Isso é um problema de Probabilidade Condicional, mais precisamente de Teorema de Bayes. Vamos usar também a Lei da Probabilidade Total.

Passo 2

Primeiro, calcula a probabilidade de cura no geral, P(C) = P(X),P(C|X) + P(Y),P(C|Y) + P(Z),P(C|Z) , usando a Lei da Probabilidade Total:
P(C) = 0,5 times 0,8 ;+; 0,4 times 0,9 ;+; 0,1 times 0,95
Substituindo os valores:
P(C) = 0,40 + 0,36 + 0,095 = 0,855
Calculemos cada pedacinho:
Então

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema de Bayes para achar
P(Y mid C) = P(Y),P(Cmid Y)P(C)
Substituindo:
P(Y mid C) = 0,4 times 0,90,855 = 0,360,855
Fazendo a divisão:
0,360,855 approx 0,42105ldots
Ou, em forma de fração exata, isso é .

Resposta

A probabilidade de o paciente ter tido a moléstia boxedP(Y mid C) = 0,360,855 approx 0,4211 (ou 8/19) , dado que saiu curado, é

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