A probabilidade de que um aluno A resolva certo problema é P(A)=12, a de que outro aluno B o resolva é P(B)=13 e a de que um terceiro aluno C o resolva é P(C)=14. Qual a probabilidade de que ao menos um deles resolva o problema?

Passo 1

Beleza, o enunciado nos diz que temos três alunos A, B e C com probabilidades de resolver um problema dadas por
P(pelo menos um) ;=; 1 - P(nenhum) , e .
O que a gente quer é a probabilidade de “pelo menos um deles resolve o problema”.
Conteúdo que vamos usar:
  • Eventos independentes
  • Regra do complemento (evento contrário)
  • Probabilidade de união via complemento:

Passo 2

Primeiro, entender a regra do complemento. Se A∪B∪C é o evento “pelo menos um resolve”, o evento contrário é “nenhum resolve”, que é Aᶜ∩Bᶜ∩Cᶜ.
Logo:
P(pelo menos um) ;=; 1 - P(A^ccap B^ccap C^c)
Como supondo que esses alunos tentam independentemente, temos:
P(A^ccap B^ccap C^c) = P(A^c);P(B^c);P(C^c)

Passo 3

Calcular cada probabilidade complementar:
P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - tfrac12 = tfrac12, P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - tfrac13 = tfrac23, P(C^c) = 1 - P(C) = 1 - tfrac14 = tfrac34
Multiplicando:
P(A^ccap B^ccap C^c) = tfrac12 times tfrac23 times tfrac34 = 1cdot2cdot32cdot3cdot4 = 624 = tfrac14

Resposta

P(pelo menos um resolve) = 1 - tfrac14 = boxedtfrac34

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