Em uma clínica, pacientes fazem raio X para diagnosticar tuberculose.
Se
dos pacientes tiverem a doença, qual a probabilidade de que em um certo dia o primeiro paciente a ser diagnosticado com a doença seja o quinto a fazer o raio X?
Se
Passo 1
O enunciado dá que
dos pacientes têm a doença. Pergunta: qual a probabilidade de que, em um certo dia, o primeiro paciente diagnosticado com a doença seja o quinto a fazer o raio X? Informações relevantes extraídas do enunciado:
onde
é a probabilidade de um paciente ter a doença em um exame isolado; queremos a probabilidade de o primeiro sucesso (primeiro paciente com a doença) ocorrer exatamente na tentativa
.
Passo 2
O que o problema pede, em palavras simples: precisamos que os primeiros quatro pacientes não tenham a doença (quatro “falhas”) e que o quinto paciente sim a tenha (uma “sucesso”). Essa situação é exatamente a que descreve a distribuição geométrica (a versão que dá a probabilidade do primeiro sucesso ocorrer na
-ésima tentativa). Não preciso usar outros métodos porque aqui não há um número fixo de sucessos no total — queremos o primeiro sucesso — então a fórmula geométrica é direta e ótima.
Passo 3
Apresento a fórmula que vamos usar e explico cada termo.
A função massa de probabilidade da variável aleatória , que representa a posição do primeiro sucesso, é
A função massa de probabilidade da variável aleatória
Explicando cada símbolo:
-
é a probabilidade de sucesso numa única tentativa (aqui, que um paciente tenha a doença), ou seja . -
é a probabilidade de fracasso numa única tentativa (não ter a doença). -
é a tentativa na qual ocorre o primeiro sucesso (aqui ).
A razão dessa fórmula: para que o primeiro sucesso ocorra exatamente na tentativa, precisamos de fracassos seguidos e então um sucesso; como tentativas são independentes, multiplicamos as probabilidades: .
Passo 4
Agora aplico a fórmula com os valores dados. Temos
e
,
. Logo:
Vou calcular passo a passo para você poder refazer sem calculadora (ou entender cada etapa):
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora
:
Passo 5
Interpretação final: a probabilidade de que o primeiro paciente com a doença apareça exatamente como o quinto a fazer raio X é aproximadamente
, ou seja cerca de
. Isso faz sentido intuitivamente: como a chance individual é baixa (
), a chance de precisar de quatro pacientes sem a doença antes do primeiro diagnosticado cai para um valor na casa dos poucos por cento — aqui cerca de
. Força aí — dá pra entender e repetir isso na prova: reconhecer o padrão “primeiro sucesso” e aplicar a fórmula geométrica é a chave.