Em uma clínica, pacientes fazem raio X para diagnosticar tuberculose.
Se 15 \% dos pacientes tiverem a doença, qual a probabilidade de que em um certo dia o primeiro paciente a ser diagnosticado com a doença seja o quinto a fazer o raio X?

Passo 1

O enunciado dá que 15\% dos pacientes têm a doença. Pergunta: qual a probabilidade de que, em um certo dia, o primeiro paciente diagnosticado com a doença seja o quinto a fazer o raio X? Informações relevantes extraídas do enunciado:
p = 0,15
onde p é a probabilidade de um paciente ter a doença em um exame isolado; queremos a probabilidade de o primeiro sucesso (primeiro paciente com a doença) ocorrer exatamente na tentativa k=5.

Passo 2

O que o problema pede, em palavras simples: precisamos que os primeiros quatro pacientes não tenham a doença (quatro “falhas”) e que o quinto paciente sim a tenha (uma “sucesso”). Essa situação é exatamente a que descreve a distribuição geométrica (a versão que dá a probabilidade do primeiro sucesso ocorrer na k-ésima tentativa). Não preciso usar outros métodos porque aqui não há um número fixo de sucessos no total — queremos o primeiro sucesso — então a fórmula geométrica é direta e ótima.

Passo 3

Apresento a fórmula que vamos usar e explico cada termo.
A função massa de probabilidade da variável aleatória X, que representa a posição do primeiro sucesso, é
P(X=k) = (1-p)^{\,k-1}\,p.
Explicando cada símbolo:
  • p é a probabilidade de sucesso numa única tentativa (aqui, que um paciente tenha a doença), ou seja p=0,15.
  • 1-p é a probabilidade de fracasso numa única tentativa (não ter a doença).
  • k é a tentativa na qual ocorre o primeiro sucesso (aqui k=5).
    A razão dessa fórmula: para que o primeiro sucesso ocorra exatamente na tentativa k, precisamos de k-1 fracassos seguidos e então um sucesso; como tentativas são independentes, multiplicamos as probabilidades: (1-p)^{k-1}\cdot p.

Passo 4

Agora aplico a fórmula com os valores dados. Temos p=0,15 e 1-p=0,85, k=5. Logo:
P(X=5) = (0,85)^{4}\cdot 0,15.
Vou calcular passo a passo para você poder refazer sem calculadora (ou entender cada etapa):
Primeiro calcule (0,85)^2:
0,85\times0,85 = 0,7225.
Agora (0,85)^4 = (0,85^2)^2 = 0,7225\times0,7225 = 0,52200625. \] Finalmente multiplico por \(0,15:
0,52200625\times0,15 = 0,52200625\times\frac{15}{100} = \frac{7,83009375}{100} = 0,0783009375.)

Passo 5

Interpretação final: a probabilidade de que o primeiro paciente com a doença apareça exatamente como o quinto a fazer raio X é aproximadamente 0,0783, ou seja cerca de 7,83\%. Isso faz sentido intuitivamente: como a chance individual é baixa ( 15\%), a chance de precisar de quatro pacientes sem a doença antes do primeiro diagnosticado cai para um valor na casa dos poucos por cento — aqui cerca de 7,8\%. Força aí — dá pra entender e repetir isso na prova: reconhecer o padrão “primeiro sucesso” e aplicar a fórmula geométrica é a chave.

Resposta

0,0783009375

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