Em um hospital, há 16 pacientes, 4 com AIDS. Um médico cuidará de um grupo de 6 destes pacientes, escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade de que ele tenha 2 dos pacientes com AIDS?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • \,16\, pacientes no hospital.
  • Desses, \,4\, têm AIDS e, portanto, \,12\, não têm AIDS.
  • O médico escolherá ao acaso um grupo de \,6\, pacientes dentre os \,16\,.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, nesse grupo de \,6\,, exatamente \,2\, sejam pacientes com AIDS?

Passo 2

O que precisamos fazer agora é contar todas as possíveis escolhas de \,6\, pacientes (todas as amostras igualmente prováveis) e contar, dentre elas, quantas contêm exatamente \,2\, pacientes com AIDS. A probabilidade será a razão entre o número de escolhas favoráveis e o número total de escolhas.
Vou usar a ideia de combinações: quando escolhemos um subconjunto de tamanho fixo de um conjunto maior e a ordem não importa, contamos usando combinações \binom{n}{k} (lê-se “ n escolhe k”). Não se preocupe se isso é novo — explico e calculo passo a passo a seguir.

Passo 3

Explicando o que é \binom{n}{k} (combinatória):
\binom{n}{k} é o número de formas diferentes de escolher k elementos entre n quando a ordem não importa. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n\times(n-1)\times\cdots\times1. Em muitas contas é útil cancelar fatores em vez de calcular fatoriais enormes.
O número total de maneiras de escolher \,6\, pacientes entre \,16\, é
\binom{16}{6}=\frac{16!}{6!\,10!}.
Para calcular sem escrever todo o fatorial, faço
\binom{16}{6}=\frac{16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Calculo passo a passo:
16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11=5\,765\,760
e
6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720,
logo
\binom{16}{6}=\frac{5\,765\,760}{720}=8\,008.
Portanto o número total de escolhas é \,8\,008\,.

Passo 4

Agora contamos as escolhas favoráveis (exatamente \,2\, com AIDS).
Para ter exatamente \,2\, pacientes com AIDS no grupo de \,6\, devemos:
  • escolher \,2\, dentre os \,4\, pacientes com AIDS, e
  • escolher \,4\, dentre os \,12\, pacientes sem AIDS.
Como as escolhas são independentes (uma escolha em um conjunto não afeta as formas de escolher no outro, pois estamos combinando escolhas), o número de escolhas favoráveis é
\binom{4}{2}\cdot\binom{12}{4}.
Calculo \binom{4}{2}:
\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}=6.
Calculo \binom{12}{4}:
\binom{12}{4}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{11\,880}{24}=495.
Multiplicando:
\binom{4}{2}\cdot\binom{12}{4}=6\cdot495=2\,970.
Portanto há \,2\,970\, escolhas favoráveis.

Passo 5

A probabilidade pedida é
P(\text{exatamente 2 com AIDS})=\frac{\text{nº favoráveis}}{\text{nº total}}=\frac{2\,970}{8\,008}.ºáº
Agora simplifico a fração. Observando que ambos são divisíveis por \,11\, (e depois por \,2\,), faço:
\frac{2\,970}{8\,008}=\frac{2\,970\div11}{8\,008\div11}=\frac{270}{728}=\frac{270\div2}{728\div2}=\frac{135}{364}.
A fração \dfrac{135}{364} não simplifica mais (os dois não têm divisores comuns além de 1).
Como referência numérica, a aproximação decimal é
\frac{135}{364}\approx0,371,
ou seja, cerca de 37{,}1\%.

Passo 6

Interpretação final rápida (para guardar na prova): dentre todas as maneiras de formar um grupo de \,6\, pacientes, cerca de 37\% dessas formações terão exatamente \,2\, pacientes com AIDS. O cálculo essencial é sempre: número de jeitos de escolher os casos desejados dividido pelo número total de jeitos de escolher o grupo.
Força aí — essa técnica de contar combinações e dividir é muito útil em problemas de amostragem sem reposição; treine mais alguns casos parecidos que você pega o jeito rápido!

Resposta

\dfrac{135}{364}\approx0,371 (aproximadamente 37{,}1\%)

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