Em um hospital, há 16 pacientes, 4 com AIDS. Um médico cuidará de um grupo de 6 destes pacientes, escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade de que ele tenha 2 dos pacientes com AIDS?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
- Há
pacientes no hospital. - Desses,
têm AIDS e, portanto, não têm AIDS. - O médico escolherá ao acaso um grupo de
pacientes dentre os . - Pergunta: qual a probabilidade de que, nesse grupo de
, exatamente sejam pacientes com AIDS?
Passo 2
O que precisamos fazer agora é contar todas as possíveis escolhas de
pacientes (todas as amostras igualmente prováveis) e contar, dentre elas, quantas contêm exatamente
pacientes com AIDS. A probabilidade será a razão entre o número de escolhas favoráveis e o número total de escolhas.
Vou usar a ideia de combinações: quando escolhemos um subconjunto de tamanho fixo de um conjunto maior e a ordem não importa, contamos usando combinações
(lê-se “
escolhe
”). Não se preocupe se isso é novo — explico e calculo passo a passo a seguir.
Passo 3
Explicando o que é
(combinatória):
é o número de formas diferentes de escolher
elementos entre
quando a ordem não importa. A fórmula é
onde
(fatorial) significa
. Em muitas contas é útil cancelar fatores em vez de calcular fatoriais enormes.
O número total de maneiras de escolher
pacientes entre
é
Para calcular sem escrever todo o fatorial, faço
Calculo passo a passo:
e
logo
Portanto o número total de escolhas é
.
Passo 4
Agora contamos as escolhas favoráveis (exatamente
com AIDS).
Para ter exatamente
pacientes com AIDS no grupo de
devemos:
- escolher
dentre os pacientes com AIDS, e - escolher
dentre os pacientes sem AIDS.
Como as escolhas são independentes (uma escolha em um conjunto não afeta as formas de escolher no outro, pois estamos combinando escolhas), o número de escolhas favoráveis é
Calculo
:
Calculo
:
Multiplicando:
Portanto há
escolhas favoráveis.
Passo 5
A probabilidade pedida é
Agora simplifico a fração. Observando que ambos são divisíveis por
(e depois por
), faço:
A fração
não simplifica mais (os dois não têm divisores comuns além de
).
Como referência numérica, a aproximação decimal é
ou seja, cerca de
.
Passo 6
Interpretação final rápida (para guardar na prova): dentre todas as maneiras de formar um grupo de
pacientes, cerca de
dessas formações terão exatamente
pacientes com AIDS. O cálculo essencial é sempre: número de jeitos de escolher os casos desejados dividido pelo número total de jeitos de escolher o grupo.
Força aí — essa técnica de contar combinações e dividir é muito útil em problemas de amostragem sem reposição; treine mais alguns casos parecidos que você pega o jeito rápido!