Um experimento consiste em retirar uma carta ao acaso de um baralho comum e recolocá-la. Se o experimento é realizado repetidamente, qual a probabilidade de que
a primeira de copas apareça na quinta extração?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a primeira carta de copas (ou seja, a primeira carta cujo naipe seja copas) apareça exatamente na quinta extração. Informações dadas:
  • Baralho comum com 52 cartas.
  • A cada extração a carta é recolocada (substituição), logo as extrações são independentes e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.
  • Queremos que a primeira ocorrência de uma carta de copas ocorra na quinta tentativa.

Passo 2

Vamos modelar o problema: cada extração é um ensaio com dois resultados possíveis — “sucesso” (sair uma carta de copas) ou “falha” (não sair copas). Como os ensaios são independentes e com mesma probabilidade de sucesso p, o número de ensaios até a primeira vitória segue a distribuição geométrica. A fórmula para a probabilidade de que a primeira vitória ocorra exatamente no k-ésimo ensaio é:
P(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p.
Explicação da fórmula: (1-p)^{k-1} é a probabilidade de obter k-1 falhas seguidas (cada uma com probabilidade 1-p), e depois ocorre um sucesso com probabilidade p.
Aqui p é a probabilidade de tirar uma carta de copas em uma única extração e k é a posição da primeira copas que queremos (aqui k=5).

Passo 3

Calculamos p, a probabilidade de sucesso numa extração:
13 cartas de copas em 52 cartas, portanto
p=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}.
Logo 1-p=\frac{3}{4}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da distribuição geométrica para k=5:
P(X=5) = \left(1-p\right)^{4}p = \left(\frac{3}{4}\right)^{4}\cdot\frac{1}{4}.
Vamos simplificar passo a passo:
\left(\frac{3}{4}\right)^{4}=\frac{3^{4}}{4^{4}}=\frac{81}{256},
então
P(X=5)=\frac{81}{256}\cdot\frac{1}{4}=\frac{81}{1024}.

Passo 5

Converter para número decimal para intuição:
\frac{81}{1024}\approx 0,0791015625,
ou seja, aproximadamente 7{,}91\%. Força — é uma chance de cerca de 8\%, dado que a probabilidade de copas em cada extração é 25\%.

Resposta

\displaystyle \frac{81}{1024}\approx 0,0791015625

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