Um experimento consiste em retirar uma carta ao acaso de um baralho comum e recolocá-la. Se o experimento é realizado repetidamente, qual a probabilidade de que
a primeira de copas apareça na quinta extração?
a primeira de copas apareça na quinta extração?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que a primeira carta de copas (ou seja, a primeira carta cujo naipe seja copas) apareça exatamente na quinta extração. Informações dadas:
- Baralho comum com
cartas. - A cada extração a carta é recolocada (substituição), logo as extrações são independentes e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.
- Queremos que a primeira ocorrência de uma carta de copas ocorra na quinta tentativa.
Passo 2
Vamos modelar o problema: cada extração é um ensaio com dois resultados possíveis — “sucesso” (sair uma carta de copas) ou “falha” (não sair copas). Como os ensaios são independentes e com mesma probabilidade de sucesso
, o número de ensaios até a primeira vitória segue a distribuição geométrica. A fórmula para a probabilidade de que a primeira vitória ocorra exatamente no
-ésimo ensaio é:
Explicação da fórmula:
é a probabilidade de obter
falhas seguidas (cada uma com probabilidade
), e depois ocorre um sucesso com probabilidade
.
Aqui
é a probabilidade de tirar uma carta de copas em uma única extração e
é a posição da primeira copas que queremos (aqui
).
Passo 3
Calculamos
, a probabilidade de sucesso numa extração:
há cartas de copas em
cartas, portanto
há
Logo
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da distribuição geométrica para
:
Vamos simplificar passo a passo:
então
Passo 5
Converter para número decimal para intuição:
ou seja, aproximadamente
. Força — é uma chance de cerca de
, dado que a probabilidade de copas em cada extração é
.