Em uma clínica, pacientes fazem raio X para diagnosticar tuberculose.
Qual a probabilidade de que o primeiro com a doença seja o décimo testado?
Qual a probabilidade de que o primeiro com a doença seja o décimo testado?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a probabilidade de que o primeiro com a doença seja o décimo testado?”\n
Informações que temos do enunciado:\n
Informações que temos do enunciado:\n
- Não foi dado um número explícito para a probabilidade de um paciente ter a doença; vou chamar essa probabilidade de
.\n - Não foi dada nenhuma outra informação (por exemplo dependências entre pacientes), então vou assumir que cada teste é independente e que cada paciente, ao ser testado, tem a mesma probabilidade
de ter a doença.\n
O objetivo é calcular a probabilidade de o primeiro resultado positivo (a primeira pessoa com a doença) aparecer exatamente no teste de número.
Passo 2
Vamos modelar cada teste como um experimento com dois resultados possíveis: “tem a doença” (sucesso) ou “não tem a doença” (falha).\n
Definições importantes e intuitivas:\n
Definições importantes e intuitivas:\n
- Chamo de
a probabilidade de um paciente ter a doença em um teste qualquer. Assim, .\n - A probabilidade de um paciente não ter a doença será
. Vou usar a letra para essa probabilidade: .\n - A independência significa que o resultado de um teste não afeta os resultados dos outros testes; isso permite multiplicar probabilidades de eventos em sequência (explico no Passo 4).
Passo 3
Interpretando o evento “o primeiro com a doença é o décimo testado”:\n
- Isso significa que os primeiros
testados não têm a doença (falhas) e o décimo testado tem a doença (sucesso).\n - Em termos de probabilidades, queremos a probabilidade do evento “falha no teste 1” e “falha no teste 2” e … e “falha no teste 9” e “sucesso no teste 10”, ou seja, a interseção desses eventos.
Passo 4
Agora usamos a propriedade da independência: se eventos são independentes, a probabilidade da interseção é o produto das probabilidades.\n
- A probabilidade de cada uma das primeiras
falhas é .\n - A probabilidade do décimo teste ser sucesso é
.\n
Portanto a probabilidade do padrão “9 falhas seguidas e depois 1 sucesso” é o produto:\n
Passo 5
Generalizando (útil para a prova): a probabilidade de que o primeiro sucesso apareça exatamente no enésimo teste é\n
pois são necessárias
falhas seguidas e então um sucesso no teste
.\n
Um exemplo numérico para fixar a ideia: se (ou seja,
de chance de doença por paciente), então a probabilidade do primeiro com doença ser o décimo testado é\n
Um exemplo numérico para fixar a ideia: se
Isso quer dizer que, com
, há aproximadamente
de chance de a primeira pessoa com a doença aparecer exatamente no décimo teste.\n
Observações rápidas de sanidade: se a probabilidade é
para todo
; se
então o primeiro com a doença é sempre o primeiro testado (probabilidade
para
e
para
). Essas checagens ajudam a confiar na fórmula.
Observações rápidas de sanidade: se