Em uma clínica, pacientes fazem raio X para diagnosticar tuberculose.
Qual a probabilidade de que o primeiro com a doença seja o décimo testado?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a probabilidade de que o primeiro com a doença seja o décimo testado?”\n
Informações que temos do enunciado:\n
  • Não foi dado um número explícito para a probabilidade de um paciente ter a doença; vou chamar essa probabilidade de p.\n
  • Não foi dada nenhuma outra informação (por exemplo dependências entre pacientes), então vou assumir que cada teste é independente e que cada paciente, ao ser testado, tem a mesma probabilidade p de ter a doença.\n
    O objetivo é calcular a probabilidade de o primeiro resultado positivo (a primeira pessoa com a doença) aparecer exatamente no teste de número 10.

Passo 2

Vamos modelar cada teste como um experimento com dois resultados possíveis: “tem a doença” (sucesso) ou “não tem a doença” (falha).\n
Definições importantes e intuitivas:\n
  • Chamo de p a probabilidade de um paciente ter a doença em um teste qualquer. Assim, \,0\le p\le1.\n
  • A probabilidade de um paciente não ter a doença será \,1-p. Vou usar a letra q para essa probabilidade: \;q = 1-p.\n
  • A independência significa que o resultado de um teste não afeta os resultados dos outros testes; isso permite multiplicar probabilidades de eventos em sequência (explico no Passo 4).

Passo 3

Interpretando o evento “o primeiro com a doença é o décimo testado”:\n
  • Isso significa que os primeiros 9 testados não têm a doença (falhas) e o décimo testado tem a doença (sucesso).\n
  • Em termos de probabilidades, queremos a probabilidade do evento “falha no teste 1” e “falha no teste 2” e … e “falha no teste 9” e “sucesso no teste 10”, ou seja, a interseção desses eventos.

Passo 4

Agora usamos a propriedade da independência: se eventos são independentes, a probabilidade da interseção é o produto das probabilidades.\n
  • A probabilidade de cada uma das primeiras 9 falhas é \,q = 1-p.\n
  • A probabilidade do décimo teste ser sucesso é \,p.\n
    Portanto a probabilidade do padrão “9 falhas seguidas e depois 1 sucesso” é o produto:\n
(1-p)\cdot(1-p)\cdots(1-p)\cdot p = (1-p)^{9}\,p.

Passo 5

Generalizando (útil para a prova): a probabilidade de que o primeiro sucesso apareça exatamente no enésimo teste é\n
(1-p)^{\,n-1} p,
pois são necessárias n-1 falhas seguidas e então um sucesso no teste n.\n
Um exemplo numérico para fixar a ideia: se p=0{,}1 (ou seja, 10\% de chance de doença por paciente), então a probabilidade do primeiro com doença ser o décimo testado é\n
(1-0{,}1)^{9}\cdot 0{,}1 = 0{,}9^{9}\cdot 0{,}1 \approx 0{,}0387.
Isso quer dizer que, com p=0{,}1, há aproximadamente 3{,}87\% de chance de a primeira pessoa com a doença aparecer exatamente no décimo teste.\n
Observações rápidas de sanidade: se p=0 a probabilidade é 0 para todo n; se p=1 então o primeiro com a doença é sempre o primeiro testado (probabilidade 1 para n=1 e 0 para n>1). Essas checagens ajudam a confiar na fórmula.

Resposta

(1-p)^{9}p

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