Um experimento consiste em retirar uma carta ao acaso de um baralho comum e recolocá-la. Se o experimento é realizado repetidamente, qual a probabilidade de que
o primeiro ás apareça na décima extração?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que o primeiro ás apareça exatamente na décima extração, num experimento em que se retira uma carta de um baralho comum e a carta é recolocada antes da próxima extração (ou seja, há reposição). Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Um baralho comum tem 52 cartas.
  • Existem 4 ases no baralho.
  • Cada extração é realizada com reposição (a carta é recolocada), e o experimento é repetido até obter um ás.
  • A pergunta: qual a probabilidade de que o primeiro ás ocorra na décima extração?

Passo 2

Calcular a probabilidade de sacar um ás em uma única extração. Como há 4 ases entre 52 cartas, a probabilidade de sucesso (sacar um ás) em uma extração é
p=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}.
A probabilidade de falha (não sacar um ás) numa extração é, portanto,
1-p=1-\dfrac{1}{13}=\dfrac{12}{13}.
Explicação didática: ao recolocar a carta após cada extração, cada sorteio tem a mesma distribuição e é independente dos anteriores — isso significa que probabilidades multiplicam quando queremos vários eventos ocorrerem em sequência.

Passo 3

Interpretar o evento “o primeiro ás aparece na décima extração”. Isso significa que:
  • Nas primeiras nove extrações não aparece ás (falhas nas 1ª até 9ª extrações).
  • Na décima extração aparece um ás (sucesso na 10ª).
    Em termos de eventos independentes, isso é a interseção (ocorrência conjunta) de nove falhas seguidas e depois um sucesso.

Passo 4

Usar a regra do produto para eventos independentes: a probabilidade da sequência (falha, …, falha, sucesso) é o produto das probabilidades de cada evento. Assim a probabilidade desejada é
\Pr(\text{primeiro ás na 10ª})=(1-p)^{9}\,p.áª
Substituindo p=\dfrac{1}{13} e 1-p=\dfrac{12}{13} obtemos
(1-p)^{9}\,p=\left(\dfrac{12}{13}\right)^{9}\cdot\dfrac{1}{13}.
Podemos escrever isso como fração única:
\left(\dfrac{12}{13}\right)^{9}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{12^{9}}{13^{9}}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{12^{9}}{13^{10}}.

Passo 5

Breve explicação teórica extra (útil na prova): a distribuição que descreve “número de tentativas até o primeiro sucesso” quando cada tentativa é independente e tem probabilidade fixa p de sucesso é a distribuição geométrica. A fórmula geral é
\Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}p,
onde X é a posição do primeiro sucesso e k é um inteiro positivo. Aqui k=10 e p=\dfrac{1}{13}, o que leva à expressão já encontrada. Dica prática: em questões com reposição, pense em tentativas independentes; sem reposição, a conta muda (hipergeométrica ou outra abordagem).

Passo 6

Cálculo aproximado (se quiser ver o valor numérico): usando a fração obtida,
\dfrac{12^{9}}{13^{10}}\approx 0,03743,
ou seja, cerca de 3{,}743\%. Mantenha a forma exata \dfrac{12^{9}}{13^{10}} na prova, a não ser que peçam aproximação.

Resposta

\dfrac{12^{9}}{13^{10}}\approx 0,03743

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