Um experimento consiste em retirar uma carta ao acaso de um baralho comum e recolocá-la. Se o experimento é realizado repetidamente, qual a probabilidade de que
o primeiro ás apareça na décima extração?
o primeiro ás apareça na décima extração?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que o primeiro ás apareça exatamente na décima extração, num experimento em que se retira uma carta de um baralho comum e a carta é recolocada antes da próxima extração (ou seja, há reposição). Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Um baralho comum tem
cartas. - Existem
ases no baralho. - Cada extração é realizada com reposição (a carta é recolocada), e o experimento é repetido até obter um ás.
- A pergunta: qual a probabilidade de que o primeiro ás ocorra na décima extração?
Passo 2
Calcular a probabilidade de sacar um ás em uma única extração. Como há
ases entre
cartas, a probabilidade de sucesso (sacar um ás) em uma extração é
A probabilidade de falha (não sacar um ás) numa extração é, portanto,
Explicação didática: ao recolocar a carta após cada extração, cada sorteio tem a mesma distribuição e é independente dos anteriores — isso significa que probabilidades multiplicam quando queremos vários eventos ocorrerem em sequência.
Passo 3
Interpretar o evento “o primeiro ás aparece na décima extração”. Isso significa que:
- Nas primeiras nove extrações não aparece ás (falhas nas 1ª até 9ª extrações).
- Na décima extração aparece um ás (sucesso na 10ª).
Em termos de eventos independentes, isso é a interseção (ocorrência conjunta) de nove falhas seguidas e depois um sucesso.
Passo 4
Usar a regra do produto para eventos independentes: a probabilidade da sequência (falha, …, falha, sucesso) é o produto das probabilidades de cada evento. Assim a probabilidade desejada é
Substituindo
e
obtemos
Podemos escrever isso como fração única:
Passo 5
Breve explicação teórica extra (útil na prova): a distribuição que descreve “número de tentativas até o primeiro sucesso” quando cada tentativa é independente e tem probabilidade fixa
de sucesso é a distribuição geométrica. A fórmula geral é
onde
é a posição do primeiro sucesso e
é um inteiro positivo. Aqui
e
, o que leva à expressão já encontrada. Dica prática: em questões com reposição, pense em tentativas independentes; sem reposição, a conta muda (hipergeométrica ou outra abordagem).
Passo 6
Cálculo aproximado (se quiser ver o valor numérico): usando a fração obtida,
ou seja, cerca de
. Mantenha a forma exata
na prova, a não ser que peçam aproximação.