Um clube tem 25 membros.
De quantas formas se pode escolher 4 membros para formarem a diretoria executiva?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • 25 membros no clube.
  • Quer-se escolher 4 desses membros para formarem a diretoria executiva.
    O que é pedido:
  • Quantas formas diferentes existem de escolher um grupo de 4 membros dentre os 25.

Passo 2

Entendendo exatamente o que significa “de quantas formas escolher”:
  • Aqui importa apenas quem está no grupo de 4, não a ordem em que são escolhidos (ou seja, escolher A, B, C, D é a mesma coisa que escolher D, C, B, A).
  • Também não há repetição: um mesmo membro não pode aparecer duas vezes no mesmo grupo.
    Portanto usamos a contagem de subconjuntos de tamanho 4 de um conjunto de 25, que é dada pelo coeficiente combinatório (lê-se “25 escolhe 4”). A fórmula padrão é
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},
onde:
  • n! (lê-se “n fatorial”) é o produto dos inteiros positivos de 1 até n: n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n.
  • n é o total de objetos (aqui n=25).
  • k é o número a escolher (aqui k=4).
    Explicação didática do fatorial: por exemplo, 4! = 1\cdot2\cdot3\cdot4 = 24. O fatorial cresce rápido, por isso na prática costuma-se simplificar fatores antes de calcular.

Passo 3

Aplicando a fórmula com n=25 e k=4:
\binom{25}{4} = \frac{25!}{4!\,21!}.
Para evitar lidar com gigantescos 25!, expresso apenas os fatores relevantes e cancelo 21!:
\binom{25}{4} = \frac{25\cdot24\cdot23\cdot22\cdot21!}{4!\,21!} = \frac{25\cdot24\cdot23\cdot22}{4!}.
E como 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24, fica
\binom{25}{4} = \frac{25\cdot24\cdot23\cdot22}{24}.

Passo 4

Agora simplify passo a passo aproveitando o 24 no numerador:
  • Podemos cancelar o fator 24 do numerador com o 24 do denominador, restando
\binom{25}{4} = 25\cdot23\cdot22.
  • Calculemos em etapas fáceis de fazer sem calculadora complicada:
25\cdot23 = 575,
575\cdot22 = 575\cdot(20+2)=575\cdot20 + 575\cdot2 = 11500 + 1150 = 12650.

Passo 5

Interpretação final: existem \,12650\, grupos distintos de 4 membros que podem formar a diretoria. Dica rápida para a prova: sempre verifique se a ordem importa — se não importa, use combinação \binom{n}{k}; se importa, use permutação P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}. Respire fundo: essa questão é padrão e resolve-se com a fórmula do coeficiente combinatório.

Resposta

\,12650\,

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