Um clube tem 25 membros.
De quantas formas se pode escolher 4 membros para formarem a diretoria executiva?
De quantas formas se pode escolher 4 membros para formarem a diretoria executiva?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Há
membros no clube. - Quer-se escolher
desses membros para formarem a diretoria executiva.
O que é pedido: - Quantas formas diferentes existem de escolher um grupo de
membros dentre os .
Passo 2
Entendendo exatamente o que significa “de quantas formas escolher”:
- Aqui importa apenas quem está no grupo de
, não a ordem em que são escolhidos (ou seja, escolher A, B, C, D é a mesma coisa que escolher D, C, B, A). - Também não há repetição: um mesmo membro não pode aparecer duas vezes no mesmo grupo.
Portanto usamos a contagem de subconjuntos de tamanhode um conjunto de , que é dada pelo coeficiente combinatório (lê-se “25 escolhe 4”). A fórmula padrão é
onde:
-
(lê-se “n fatorial”) é o produto dos inteiros positivos de até : . -
é o total de objetos (aqui ). -
é o número a escolher (aqui ).
Explicação didática do fatorial: por exemplo,. O fatorial cresce rápido, por isso na prática costuma-se simplificar fatores antes de calcular.
Passo 3
Aplicando a fórmula com
e
:
Para evitar lidar com gigantescos
, expresso apenas os fatores relevantes e cancelo
:
E como
, fica
Passo 4
Agora simplify passo a passo aproveitando o
no numerador:
- Podemos cancelar o fator
do numerador com o do denominador, restando
- Calculemos em etapas fáceis de fazer sem calculadora complicada:
Passo 5
Interpretação final: existem
grupos distintos de
membros que podem formar a diretoria. Dica rápida para a prova: sempre verifique se a ordem importa — se não importa, use combinação
; se importa, use permutação
. Respire fundo: essa questão é padrão e resolve-se com a fórmula do coeficiente combinatório.