De quantas formas se pode escolher 5 letras distintas do nosso alfabeto?

Passo 1

O enunciado pergunta: “De quantas formas se pode escolher 5 letras distintas do nosso alfabeto?”
Informações relevantes e hipóteses que vou usar (estas foram inferidas do enunciado e são necessárias):
  • Assume‑se o alfabeto moderno com 26 letras. Ou seja, há 26 símbolos diferentes para escolher.
  • As 5 letras devem ser distintas (não se repete letra).
  • A escolha não considera ordem: escolher as letras A,B,C,D,E é a mesma coisa que escolher E,D,C,B,A. Portanto estamos contando combinações, não arranjos ordenados.

Passo 2

Explicando o tipo de contagem (por que usar combinações):
Quando escolhemos objetos e a ordem NÃO importa, usamos combinações. Se a ordem importasse (por exemplo, formar uma sequência de 5 letras), usaríamos arranjos/permutations. Aqui o enunciado fala apenas em “escolher 5 letras”, sem ordenar, então teremos de contar subconjuntos de tamanho 5 de um conjunto de 26 elementos — isto é uma combinação.

Passo 3

Apresentando a fórmula e o que cada símbolo significa:
Denotando o número de letras totais por n e o número a escolher por k, o número de combinações (escolhas sem ordem) é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê‑se “n fatorial”) é n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1.
Aqui n=26 e k=5. Substituindo:
\binom{26}{5}=\frac{26!}{5!\,21!}=\frac{26\cdot25\cdot24\cdot23\cdot22}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Expliquei a última igualdade porque o fator 21! cancela os termos de 26! acima de 21.

Passo 4

Fazendo simplificações antes de multiplicar (truque prático para a prova):
\binom{26}{5}=\frac{26\cdot25\cdot24\cdot23\cdot22}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora simplifico fatores do numerador com o denominador para facilitar as contas:
  • 25 dividido por 5 5.
  • 24 dividido por 4 6, e esse 6 dividido por 3 2.
  • 22 dividido por 2 11.
    Depois dessas simplificações restam os fatores
26\cdot5\cdot2\cdot23\cdot11.

Passo 5

Multiplicando passo a passo (para não se perder na prova):
  • 26\cdot5=130.
  • 130\cdot2=260.
  • 260\cdot23=260\cdot(20+3)=5200+780=5980.
  • 5980\cdot11=5980\cdot(10+1)=59800+5980=65780.
Logo
\binom{26}{5}=65780.

Passo 6

Verificação alternativa curta (checar se não errou):
Conta alternativa: calcular permutações 26\cdot25\cdot24\cdot23\cdot22=7\,893\,600 e dividir por 5!=120 7\,893\,600/120=65\,780, confirma o resultado.

Passo 7

Exemplo menor para fixar a ideia (ajuda didática):
Com um alfabeto de 4 letras \{A,B,C,D\}, o número de maneiras de escolher 2 letras é
\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}=6,
as escolhas são \{A,B\},\{A,C\},\{A,D\},\{B,C\},\{B,D\},\{C,D\}. Isso mostra por que dividimos por 2!: as ordens repetidas contam só uma vez.

Resposta

65780

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