De quantas formas se pode escolher 5 letras distintas do nosso alfabeto?
Passo 1
O enunciado pergunta: “De quantas formas se pode escolher 5 letras distintas do nosso alfabeto?”
Informações relevantes e hipóteses que vou usar (estas foram inferidas do enunciado e são necessárias):
Informações relevantes e hipóteses que vou usar (estas foram inferidas do enunciado e são necessárias):
- Assume‑se o alfabeto moderno com
letras. Ou seja, há símbolos diferentes para escolher. - As
letras devem ser distintas (não se repete letra). - A escolha não considera ordem: escolher as letras
é a mesma coisa que escolher . Portanto estamos contando combinações, não arranjos ordenados.
Passo 2
Explicando o tipo de contagem (por que usar combinações):
Quando escolhemos objetos e a ordem NÃO importa, usamos combinações. Se a ordem importasse (por exemplo, formar uma sequência de 5 letras), usaríamos arranjos/permutations. Aqui o enunciado fala apenas em “escolher 5 letras”, sem ordenar, então teremos de contar subconjuntos de tamanho de um conjunto de
elementos — isto é uma combinação.
Quando escolhemos objetos e a ordem NÃO importa, usamos combinações. Se a ordem importasse (por exemplo, formar uma sequência de 5 letras), usaríamos arranjos/permutations. Aqui o enunciado fala apenas em “escolher 5 letras”, sem ordenar, então teremos de contar subconjuntos de tamanho
Passo 3
Apresentando a fórmula e o que cada símbolo significa:
Denotando o número de letras totais por e o número a escolher por
, o número de combinações (escolhas sem ordem) é dado por
Denotando o número de letras totais por
onde
(lê‑se “n fatorial”) é
.
Aqui e
. Substituindo:
Aqui
Expliquei a última igualdade porque o fator
cancela os termos de
acima de
.
Passo 4
Fazendo simplificações antes de multiplicar (truque prático para a prova):
Agora simplifico fatores do numerador com o denominador para facilitar as contas:
-
dividido por dá . -
dividido por dá , e esse dividido por dá . -
dividido por dá .
Depois dessas simplificações restam os fatores
Passo 5
Multiplicando passo a passo (para não se perder na prova):
-
. -
. -
. -
.
Logo
Passo 6
Verificação alternativa curta (checar se não errou):
Conta alternativa: calcular permutações e dividir por
dá
, confirma o resultado.
Conta alternativa: calcular permutações
Passo 7
Exemplo menor para fixar a ideia (ajuda didática):
Com um alfabeto de letras
, o número de maneiras de escolher
letras é
Com um alfabeto de
as escolhas são
. Isso mostra por que dividimos por
: as ordens repetidas contam só uma vez.