Quantas são as palavras binárias de comprimento 10 que contêm:
Um número igual de algarismos 0 e algarismos 1 .
Um número igual de algarismos 0 e algarismos 1 .
Passo 1
O enunciado pede: contar quantas palavras binárias de comprimento 10 têm o mesmo número de algarismos
e
.
Informações dadas e consequência imediata:
Informações dadas e consequência imediata:
- Cada palavra tem comprimento
. - “Mesmo número de
e ” implica que há exatamente zeros e uns em cada palavra considerada.
A pergunta clara: quantas sequências dedígitos binários contêm exatamente zeros e uns?
Passo 2
Ideia de contagem (método escolhido): pensar nas
posições da palavra como distintamente numeradas de
a
. Para formar uma palavra com exatamente cinco
e cinco
, basta escolher quais
posições, entre as
, receberão o algarismo
; as posições restantes serão
.
Portanto o problema reduz-se a: quantas maneiras existem de escolher posições dentre
? Essa quantidade é o número de subconjuntos de tamanho
de um conjunto de
elementos, ou seja, o coeficiente binomial
.
Portanto o problema reduz-se a: quantas maneiras existem de escolher
Passo 3
Definição e explicação do coeficiente binomial:
O coeficiente binomial conta o número de maneiras de escolher
elementos dentre
quando a ordem não importa. A fórmula é
O coeficiente binomial
onde
(lê-se “
fatorial”) significa
Intuição:
é o número de maneiras de ordenar
objetos; dividir por
remove a ordenação dentro dos grupos escolhidos e não escolhidos, deixando apenas as combinações.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso com
e
:
Para simplificar sem usar calculadora, escrevemos apenas os fatores necessários:
Agora fazemos cancelamentos fáceis:
Multiplicando os resultados no numerador:
Logo
.
Passo 5
Exemplo curto para fixar: para palavras de comprimento
com igual número de
e
(ou seja,
zeros e
uns) o número seria
. As seis sequências são, por exemplo,
. O mesmo raciocínio (escolher posições para os
) vale para o caso
.