Quantas são as palavras binárias de comprimento 10 que contêm:
Um número igual de algarismos 0 e algarismos 1 .

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas palavras binárias de comprimento 10 têm o mesmo número de algarismos 0 e 1.
Informações dadas e consequência imediata:
  • Cada palavra tem comprimento 10.
  • “Mesmo número de 0 e 1” implica que há exatamente 5 zeros e 5 uns em cada palavra considerada.
    A pergunta clara: quantas sequências de 10 dígitos binários contêm exatamente 5 zeros e 5 uns?

Passo 2

Ideia de contagem (método escolhido): pensar nas 10 posições da palavra como distintamente numeradas de 1 a 10. Para formar uma palavra com exatamente cinco 1 e cinco 0, basta escolher quais 5 posições, entre as 10, receberão o algarismo 1; as posições restantes serão 0.
Portanto o problema reduz-se a: quantas maneiras existem de escolher 5 posições dentre 10? Essa quantidade é o número de subconjuntos de tamanho 5 de um conjunto de 10 elementos, ou seja, o coeficiente binomial \binom{10}{5}.

Passo 3

Definição e explicação do coeficiente binomial:
O coeficiente binomial \binom{n}{k} conta o número de maneiras de escolher k elementos dentre n quando a ordem não importa. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) significa
n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1.
Intuição: n! é o número de maneiras de ordenar n objetos; dividir por k!(n-k)! remove a ordenação dentro dos grupos escolhidos e não escolhidos, deixando apenas as combinações.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso com n=10 e k=5:
\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!5!}.
Para simplificar sem usar calculadora, escrevemos apenas os fatores necessários:
\binom{10}{5}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora fazemos cancelamentos fáceis:
\frac{10}{5}=2,\qquad \frac{9}{3}=3,\qquad \frac{8}{4}=2,\qquad \frac{6}{2}=3,\qquad \text{e o }1\text{ fica.}
Multiplicando os resultados no numerador:
2\cdot3\cdot2\cdot7\cdot3 = 252.
Logo \binom{10}{5}=252.

Passo 5

Exemplo curto para fixar: para palavras de comprimento 4 com igual número de 0 e 1 (ou seja, 2 zeros e 2 uns) o número seria \binom{4}{2}=\dfrac{4\cdot3}{2\cdot1}=6. As seis sequências são, por exemplo, 0011,0101,0110,1001,1010,1100. O mesmo raciocínio (escolher posições para os 1) vale para o caso 10.

Resposta

\;252

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