Clusaifique cada umn dns afirmagies abaixo como Verdadeira (V) ou Falsa (F) e justifique sua resposta com rigor matemático.
F) Toda sequência limitada é necessariamente convergente
b. ( F ) A sequência a_{n}=\ln \left(2 n^{2}+2025\right)-\ln \left(n^{2}+2025\right) diverge.
c. ( V ) Se \mathrm{a}_{n} \rightarrow 0, então \sum \mathrm{a}_{n} converge.
(F). (F ) A série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} diverge se |r| \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para classificar quatro afirmações sobre convergência de sequências e séries como Verdadeiras (V) ou Falsas (F) e justificar cada caso rigorosamente. O conteúdo envolve:
– Definições de convergência de sequências.
– Critério de sequência limitada mas não necessariamente convergente.
– Cálculo de limite de sequência envolvendo logaritmos.
– Condição necessária, porém não suficiente, para convergência de série infinita.
– Teste da série geométrica.

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “Toda sequência limitada é necessariamente convergente.”
Uma sequência é limitada se existe M>0 tal que |a_n|\le M para todo n. Mas isso não garante convergência.
Contra-exemplo clássico: \displaystyle a_n = (-1)^n é limitada pois |a_n|=1, mas não converge, pois oscila entre -1 e 1.
Logo, a afirmação é Falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “A sequência a_{n}=\ln\bigl(2n^{2}+2025\bigr)-\ln\bigl(n^{2}+2025\bigr) diverge.”
Podemos reescrever
a_n = \ln\!\biggl(\frac{2n^{2}+2025}{\,n^{2}+2025\,}\biggr).
Ao dividir numerador e denominador por n^2, para n\to\infty temos
\frac{2n^2+2025}{n^2+2025} \;\longrightarrow\; \frac{2+0}{1+0} =2.
Logo
\lim_{n\to\infty}a_n = \ln(2),
que é finito. Portanto a sequência converge (a um número diferente de zero), e a afirmação de que “diverge” é Falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação (c): “Se \displaystyle a_n \to 0, então \sum a_n converge.”
Para que uma série \sum a_n convirja, é necessário que a_n\to0, mas isso não é suficiente.
Contra-exemplo: a_n = 1/n satisfaz \lim_{n\to\infty}a_n=0, mas a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é conhecida por divergir.
Logo, a afirmação é Falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação (d): “A série geométrica \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}r^{n} diverge se \lvert r\rvert\ge1.”
Pelo teste da série geométrica, sabemos que
– Converge se e somente se \lvert r\rvert<1.
– Diverge sempre que \lvert r\rvert\ge1.
Portanto, a afirmação é Verdadeira.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) F
(d) V

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