Clusaifique cada umn dns afirmagies abaixo como Verdadeira (V) ou Falsa (F) e justifique sua resposta com rigor matemático.
F) Toda sequência limitada é necessariamente convergente
b. ( F ) A sequência
diverge.
c. ( V ) Se
, então
converge.
(F). (F ) A série geométrica
diverge se
.
F) Toda sequência limitada é necessariamente convergente
b. ( F ) A sequência
c. ( V ) Se
(F). (F ) A série geométrica
Passo 1
O enunciado pede para classificar quatro afirmações sobre convergência de sequências e séries como Verdadeiras (V) ou Falsas (F) e justificar cada caso rigorosamente. O conteúdo envolve:
– Definições de convergência de sequências.
– Critério de sequência limitada mas não necessariamente convergente.
– Cálculo de limite de sequência envolvendo logaritmos.
– Condição necessária, porém não suficiente, para convergência de série infinita.
– Teste da série geométrica.
– Definições de convergência de sequências.
– Critério de sequência limitada mas não necessariamente convergente.
– Cálculo de limite de sequência envolvendo logaritmos.
– Condição necessária, porém não suficiente, para convergência de série infinita.
– Teste da série geométrica.
Passo 2
Analisando a afirmação (a): “Toda sequência limitada é necessariamente convergente.”
Uma sequência é limitada se existe tal que
para todo
. Mas isso não garante convergência.
Contra-exemplo clássico: é limitada pois
, mas não converge, pois oscila entre
e
.
Logo, a afirmação é Falsa.
Uma sequência é limitada se existe
Contra-exemplo clássico:
Logo, a afirmação é Falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação (b): “A sequência
diverge.”
Podemos reescrever
Podemos reescrever
Ao dividir numerador e denominador por
, para
temos
Logo
que é finito. Portanto a sequência converge (a um número diferente de zero), e a afirmação de que “diverge” é Falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação (c): “Se
, então
converge.”
Para que uma série convirja, é necessário que
, mas isso não é suficiente.
Contra-exemplo: satisfaz
, mas a série harmônica
Para que uma série
Contra-exemplo:
é conhecida por divergir.
Logo, a afirmação é Falsa.
Logo, a afirmação é Falsa.
Passo 5
Analisando a afirmação (d): “A série geométrica
diverge se
.”
Pelo teste da série geométrica, sabemos que
– Converge se e somente se .
– Diverge sempre que .
Portanto, a afirmação é Verdadeira.
Pelo teste da série geométrica, sabemos que
– Converge se e somente se
– Diverge sempre que
Portanto, a afirmação é Verdadeira.
Resposta
(a) F
(b) F
(c) F
(d) V
(b) F
(c) F
(d) V