(CM) Um conjunto é constituído por sete números, cuja a soma é igual a 220. Cada número desse conjunto é aumentado de 20 unidades, depois multiplicado por 5 e, finalmente, subtrai-se 20 unidades de cada produto. A soma dos números do novo conjunto assim obtido é:
a) 780
b) 870
c) 1.100
d) 1.660
a) 780
b) 870
c) 1.100
d) 1.660
Passo 1
O enunciado dá um conjunto com sete números cuja soma é
. Ou seja, se os números forem
, então
Cada número passa pelas três operações, nesta ordem:
- aumenta-se o número em
unidades; - multiplica-se o resultado por
; - subtrai-se
do produto obtido.
A pergunta é: qual é a soma dos sete números após essas transformações?
Passo 2
Vamos escrever algebraicamente a transformação aplicada a um número genérico
.
Primeiro passo: aumentar
em
dá
.
Segundo passo: multiplicar por
dá
.
Terceiro passo: subtrair
dá
Aqui usamos a propriedade distributiva para manipular expressões do tipo
, que diz que
. Também usaremos depois a propriedade da soma que permite fatorar constantes quando somamos vários termos.
Passo 3
Aplicando a distributiva em
:
Simplificando os termos constantes:
Portanto, para cada número original
do conjunto, o novo número é
.
Um exemplo numérico rápido para conferir a interpretação: se
, então
,
,
. Pela fórmula
obtemos
. Batem certinho — isso dá confiança.
Passo 4
Agora vamos somar os novos números para todos os sete elementos. Se os números originais são
, os novos são
. A soma dos novos números é
Usamos a linearidade da soma (ou seja, que a soma distribui sobre adição) para separar:
Agora aplicamos a propriedade de fatoração de constantes dentro de uma soma:
. E a soma de uma constante
repetida 7 vezes é
. Assim:
Passo 5
Substituímos o dado do enunciado
:
Calculemos passo a passo sem calculadora:
Somando:
Passo 6
Interpretação final: a soma dos números do novo conjunto é
. Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (d).
Resposta
d)