(CM) Um conjunto é constituído por sete números, cuja a soma é igual a 220. Cada número desse conjunto é aumentado de 20 unidades, depois multiplicado por 5 e, finalmente, subtrai-se 20 unidades de cada produto. A soma dos números do novo conjunto assim obtido é:
a) 780
b) 870
c) 1.100
d) 1.660

Passo 1

O enunciado dá um conjunto com sete números cuja soma é 220. Ou seja, se os números forem x_1,x_2,\dots,x_7, então
\sum_{i=1}^{7} x_i = 220.
Cada número passa pelas três operações, nesta ordem:
  1. aumenta-se o número em 20 unidades;
  2. multiplica-se o resultado por 5;
  3. subtrai-se 20 do produto obtido.
A pergunta é: qual é a soma dos sete números após essas transformações?

Passo 2

Vamos escrever algebraicamente a transformação aplicada a um número genérico x.
Primeiro passo: aumentar x em 20 x+20.
Segundo passo: multiplicar por 5 5(x+20).
Terceiro passo: subtrair 20
5(x+20)-20.
Aqui usamos a propriedade distributiva para manipular expressões do tipo a(b+c), que diz que a(b+c)=ab+ac. Também usaremos depois a propriedade da soma que permite fatorar constantes quando somamos vários termos.

Passo 3

Aplicando a distributiva em 5(x+20)-20:
5(x+20)-20 = 5x + 5\cdot20 - 20 = 5x + 100 - 20.
Simplificando os termos constantes:
5x + 100 - 20 = 5x + 80.
Portanto, para cada número original x do conjunto, o novo número é 5x+80.
Um exemplo numérico rápido para conferir a interpretação: se x=10, então x+20=30, 5\cdot30=150, 150-20=130. Pela fórmula 5x+80 obtemos 5\cdot10+80=50+80=130. Batem certinho — isso dá confiança.

Passo 4

Agora vamos somar os novos números para todos os sete elementos. Se os números originais são x_1,\dots,x_7, os novos são 5x_1+80,\dots,5x_7+80. A soma dos novos números é
\sum_{i=1}^{7} \bigl(5x_i + 80\bigr).
Usamos a linearidade da soma (ou seja, que a soma distribui sobre adição) para separar:
\sum_{i=1}^{7} \bigl(5x_i + 80\bigr) = \sum_{i=1}^{7} 5x_i \;+\; \sum_{i=1}^{7} 80.
Agora aplicamos a propriedade de fatoração de constantes dentro de uma soma: \sum 5x_i = 5\sum x_i. E a soma de uma constante 80 repetida 7 vezes é 7\cdot 80. Assim:
\sum_{i=1}^{7} \bigl(5x_i + 80\bigr) = 5\sum_{i=1}^{7} x_i + 7\cdot 80.

Passo 5

Substituímos o dado do enunciado \sum_{i=1}^{7} x_i = 220:
5\sum_{i=1}^{7} x_i + 7\cdot 80 = 5\cdot 220 + 7\cdot 80.
Calculemos passo a passo sem calculadora:
5\cdot 220 = 5\cdot(200+20)=1000+100=1100,
7\cdot 80 = 7\cdot(8\cdot10)=56\cdot10=560.
Somando:
1100 + 560 = 1660.

Passo 6

Interpretação final: a soma dos números do novo conjunto é 1660. Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

d) 1.660

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