(CN) Sabe-se que: o número natural k dividido pelo número natural A dá quociente 56 e resto zero; k dividido pelo número natural B dá quociente 21 e resto zero; e os algarismos de A são os mesmos de B e ambos possuem dois algarismos, porém em ordem inversa. A soma dos algarismos de k é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado diz que, ao dividir o número natural k por A, o quociente é 56 e o resto é 0. Ou seja, k é múltiplo de A e a divisão dá exatamente 56 vezes A.
  • Também diz que, ao dividir k por B, o quociente é 21 e o resto é 0. Ou seja, k é múltiplo de B e a divisão dá exatamente 21 vezes B.
  • A e B são números naturais de dois algarismos, os algarismos de A são os mesmos de B porém na ordem inversa.
  • O que o problema pede: a soma dos algarismos de k (escolher entre as alternativas dadas).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • k = 56A.
  • k = 21B.
  • A e B são números de dois algarismos com dígitos trocados.

Passo 2

A partir das duas igualdades k=56A e k=21B podemos igualar:
56A = 21B.
Para simplificar, dividimos ambos os lados por 7 (o máximo divisor comum entre 56 e 21):
8A = 3B.
Essa relação é central: A e B satisfazem 8A=3B.

Passo 3

Representamos A e B pelos seus algarismos. Seja x o algarismo das dezenas de A e y o algarismo das unidades de A. Então:
A = 10x + y, \qquad B = 10y + x.
Como A e B são números de dois algarismos, os algarismos das dezenas não podem ser zero, logo x\in\{1,\dots,9\} e y\in\{1,\dots,9\}. (Observação: y também não pode ser 0, pois então B=10\cdot 0 + x = x seria um número de um algarismo.)

Passo 4

Substituímos A e B em 8A=3B:
8(10x+y)=3(10y+x).
Agora desenvolvemos e simplificamos passo a passo:
80x+8y=30y+3x.
Colocando termos com x de um lado e com y do outro:
80x-3x=30y-8y
77x=22y.
Dividimos ambos os lados por 11 (pois 77 e 22 são divisíveis por 11):
7x=2y.
Isolando y:
y=\dfrac{7}{2}x.
Como x e y são inteiros (algarismos), \dfrac{7}{2}x deve ser inteiro, portanto x deve ser múltiplo de 2. Consideramos os possíveis valores pares de x entre 1 e 9: x\in\{2,4,6,8\}.

Passo 5

Testamos cada valor de x:
  • Para x=2:
y=\dfrac{7}{2}\cdot 2 = 7.
Isso dá y=7, que é um algarismo válido.
  • Para x=4:
y=\dfrac{7}{2}\cdot 4 = 14,
mas 14 não é um algarismo (maior que 9), rejeitado.
  • Para x=6:
y=\dfrac{7}{2}\cdot 6 = 21,
rejeitado.
  • Para x=8:
y=\dfrac{7}{2}\cdot 8 = 28,
rejeitado.
Então o único par de algarismos válido é x=2 e y=7. Assim:
A = 10x+y = 10\cdot 2 + 7 = 27, \qquad B = 10y+x = 10\cdot 7 + 2 = 72.

Passo 6

Agora calculamos k. Podemos usar k=56A ou k=21B; ambos devem dar o mesmo resultado.
Usando A=27:
k = 56\cdot 27.
Calculando passo a passo:
27\cdot 50 = 1350,\qquad 27\cdot 6 = 162,
k = 1350 + 162 = 1512.
Verificação usando B=72:
21\cdot 72 = 20\cdot 72 + 1\cdot 72 = 1440 + 72 = 1512,
confirmando k=1512.
Agora somamos os algarismos de k:
1 + 5 + 1 + 2 = 9.

Passo 7

Concluímos que a soma dos algarismos de k é \,9. Observação: as alternativas fornecidas na questão eram 5,6,7,8, que não contêm 9; portanto a soma correta obtida por raciocínio é \,9.

Resposta

9

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