(CN) Sabe-se que: o número natural k dividido pelo número natural A dá quociente 56 e resto zero; k dividido pelo número natural B dá quociente 21 e resto zero; e os algarismos de A são os mesmos de B e ambos possuem dois algarismos, porém em ordem inversa. A soma dos algarismos de k é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado diz que, ao dividir o número natural
por , o quociente é e o resto é . Ou seja, é múltiplo de e a divisão dá exatamente vezes . - Também diz que, ao dividir
por , o quociente é e o resto é . Ou seja, é múltiplo de e a divisão dá exatamente vezes . -
e são números naturais de dois algarismos, os algarismos de são os mesmos de porém na ordem inversa. - O que o problema pede: a soma dos algarismos de
(escolher entre as alternativas dadas).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. -
. -
e são números de dois algarismos com dígitos trocados.
Passo 2
A partir das duas igualdades
e
podemos igualar:
Para simplificar, dividimos ambos os lados por
(o máximo divisor comum entre
e
):
Essa relação é central:
e
satisfazem
.
Passo 3
Representamos
e
pelos seus algarismos. Seja
o algarismo das dezenas de
e
o algarismo das unidades de
. Então:
Como
e
são números de dois algarismos, os algarismos das dezenas não podem ser zero, logo
e
. (Observação:
também não pode ser
, pois então
seria um número de um algarismo.)
Passo 4
Substituímos
e
em
:
Agora desenvolvemos e simplificamos passo a passo:
Colocando termos com
de um lado e com
do outro:
Dividimos ambos os lados por
(pois
e
são divisíveis por
):
Isolando
:
Como
e
são inteiros (algarismos),
deve ser inteiro, portanto
deve ser múltiplo de
. Consideramos os possíveis valores pares de
entre
e
:
.
Passo 5
Testamos cada valor de
:
- Para
:
Isso dá
, que é um algarismo válido.
- Para
:
mas
não é um algarismo (maior que
), rejeitado.
- Para
:
rejeitado.
- Para
:
rejeitado.
Então o único par de algarismos válido é
e
. Assim:
Passo 6
Agora calculamos
. Podemos usar
ou
; ambos devem dar o mesmo resultado.
Usando
:
Calculando passo a passo:
Verificação usando
:
confirmando
.
Agora somamos os algarismos de
:
Passo 7
Concluímos que a soma dos algarismos de
é
. Observação: as alternativas fornecidas na questão eram
, que não contêm
; portanto a soma correta obtida por raciocínio é
.