Que fração de moléculas num gás possui energias maiores do que kT,
e 10 kT ?
Passo 1
O enunciado pede: “Que fração de moléculas num gás possui energias maiores do que
,
,
e
?”
Informações dadas (implícitas): temos um gás em equilíbrio térmico à temperatura ;
é a constante de Boltzmann; deseja-se a fração (probabilidade) de moléculas cuja energia cinética translacional
satisfaz
para os valores
.
Informações dadas (implícitas): temos um gás em equilíbrio térmico à temperatura
Passo 2
Qual é a regra/procedimento que vamos usar? Em um gás ideal clássico em equilíbrio, as energias cinéticas das moléculas seguem a distribuição de Maxwell–Boltzmann. A distribuição de probabilidades para a energia cinética
(em 3 dimensões) é uma distribuição do tipo Gamma com parâmetro de forma
. Vou mostrar a forma dessa densidade e como obter a probabilidade da cauda (ou seja,
). Não se preocupe se nunca viu a função Gama ou erfc com detalhes — eu explico passo a passo.
Passo 3
Derivindo a densidade de probabilidade da energia e normalizando (explicação didática).
- Em 3D a distribuição de energia tem a densidade
onde
é a constante de normalização que garante
.
- Calculamos
usando a integral conhecida . Fazer a mudança dá
A integral
é a função Gama
. Uma propriedade útil é
e
; assim
- Portanto a condição de normalização exige
- Conclusão: a densidade de probabilidade da energia é
Explicação verbal: essa fórmula dá a “densidade” de moléculas com energia próxima de
. A raiz
aparece porque, em 3D, há mais modos (mais estados acessíveis) em energias maiores, mas o fator exponencial
suprime energias grandes; o produto dessas duas tendências gera um pico em
.
Passo 4
Expressão geral para a fração com
.
- A fração pedida é a integral da densidade acima de
:
- Faça a mudança adimensional
, . Então
- Essa integral é a função Gama incompleta
. Usando a relação de recorrência entre funções Gama incompletas e a forma conhecida de (que envolve a função erro complementar ), obtemos uma expressão conveniente:
Dividindo por
(para normalizar) resulta na forma simples
onde
e
é a função erro complementar:
. Esta é a fórmula que vamos usar numericamente.
Breve intuição sobre os termos:
captura a contribuição exponencialmente pequena para grandes
, enquanto o segundo termo
vem do fator
na densidade e frequentemente domina para moderados
.
Passo 5
Cálculo numérico para cada caso. Vou calcular
para cada pedido e avaliar a fórmula. Usarei valores numéricos padrões:
. Para
uso valores/ aproximações conhecidas (ou a expansão assintótica quando necessário); mostro os termos intermediários para ficar claro como chegar ao número final.
-
Para
→ . -
. -
. - segundo termo:
. - Soma:
.
-
-
Para
→ . -
. -
. - segundo termo:
. Como , temos e multiplicando por dá . - Soma:
.
-
-
Para
→ . -
. -
é pequeno; usando a expansão assintótica (ou tabelas) obtemos aproximadamente . - segundo termo:
. Como , o produto interno é e multiplicando por dá . - Soma:
.
-
-
Para
→ . -
. -
é muito pequeno; pela expansão obtemos cerca de . - segundo termo:
. Como , o produto interno é e multiplicando por dá . - Soma:
.
-
Interpretação curta: a fração decai rapidamente com
; já em
só ~1,86% das moléculas têm energia maior que isso; em
a fração é da ordem de
.