Que fração de moléculas num gás possui energias maiores do que kT, 2 \mathrm{kT}, 5 \mathrm{kT} e 10 kT ?

Passo 1

O enunciado pede: “Que fração de moléculas num gás possui energias maiores do que kT, 2kT, 5kT e 10kT?”
Informações dadas (implícitas): temos um gás em equilíbrio térmico à temperatura T; k é a constante de Boltzmann; deseja-se a fração (probabilidade) de moléculas cuja energia cinética translacional E satisfaz E>E_0 para os valores E_0=kT,\,2kT,\,5kT,\,10kT.

Passo 2

Qual é a regra/procedimento que vamos usar? Em um gás ideal clássico em equilíbrio, as energias cinéticas das moléculas seguem a distribuição de Maxwell–Boltzmann. A distribuição de probabilidades para a energia cinética E (em 3 dimensões) é uma distribuição do tipo Gamma com parâmetro de forma 3/2. Vou mostrar a forma dessa densidade e como obter a probabilidade da cauda (ou seja, P(E>E_0)). Não se preocupe se nunca viu a função Gama ou erfc com detalhes — eu explico passo a passo.

Passo 3

Derivindo a densidade de probabilidade da energia e normalizando (explicação didática).
  • Em 3D a distribuição de energia tem a densidade
f(E)=A\,\sqrt{E}\,e^{-E/(kT)},
onde A é a constante de normalização que garante \int_{0}^{\infty} f(E)\,dE=1.
  • Calculamos A usando a integral conhecida \displaystyle \int_{0}^{\infty} E^{1/2}e^{-E/(kT)}\,dE. Fazer a mudança x=\dfrac{E}{kT}
\int_{0}^{\infty} E^{1/2}e^{-E/(kT)}\,dE = (kT)^{3/2}\int_{0}^{\infty} x^{1/2}e^{-x}\,dx.
A integral \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{1/2}e^{-x}\,dx é a função Gama \Gamma(3/2). Uma propriedade útil é \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi} e \Gamma(s+1)=s\Gamma(s); assim
\Gamma(3/2)=\tfrac{1}{2}\Gamma(1/2)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}.
  • Portanto a condição de normalização exige
A\,(kT)^{3/2}\Gamma(3/2)=1 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{(kT)^{3/2}\Gamma(3/2)}=\frac{2}{\sqrt{\pi}\,(kT)^{3/2}}.
  • Conclusão: a densidade de probabilidade da energia é
f(E)=\frac{2}{\sqrt{\pi}\,(kT)^{3/2}}\sqrt{E}\,e^{-E/(kT)}.
Explicação verbal: essa fórmula dá a “densidade” de moléculas com energia próxima de E. A raiz \sqrt{E} aparece porque, em 3D, há mais modos (mais estados acessíveis) em energias maiores, mas o fator exponencial \exp(-E/(kT)) suprime energias grandes; o produto dessas duas tendências gera um pico em E\sim kT.

Passo 4

Expressão geral para a fração com E>E_0.
  • A fração pedida é a integral da densidade acima de E_0:
P(E>E_0)=\int_{E_0}^{\infty} f(E)\,dE.
  • Faça a mudança adimensional \displaystyle x=\frac{E}{kT}, \displaystyle x_0=\frac{E_0}{kT}. Então
P(E>E_0)=\int_{x_0}^{\infty}\frac{2}{\sqrt{\pi}}x^{1/2}e^{-x}\,dx.
  • Essa integral é a função Gama incompleta \Gamma(3/2,x_0). Usando a relação de recorrência entre funções Gama incompletas e a forma conhecida de \Gamma(1/2,x) (que envolve a função erro complementar \operatorname{erfc}), obtemos uma expressão conveniente:
\Gamma\!\left(\tfrac{3}{2},x\right)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}\,\operatorname{erfc}(\sqrt{x})+\sqrt{x}\,e^{-x}.
Dividindo por \Gamma(3/2)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} (para normalizar) resulta na forma simples
\boxed{\,P(E>E_0)=\operatorname{erfc}\!\big(\sqrt{x_0}\,\big)+\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{x_0}\,e^{-x_0}\,}
onde x_0=\dfrac{E_0}{kT} e \operatorname{erfc} é a função erro complementar: \operatorname{erfc}(z)=1-\operatorname{erf}(z). Esta é a fórmula que vamos usar numericamente.
Breve intuição sobre os termos: \operatorname{erfc}(\sqrt{x_0}) captura a contribuição exponencialmente pequena para grandes \sqrt{x_0}, enquanto o segundo termo \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{x_0}e^{-x_0} vem do fator \sqrt{x} na densidade e frequentemente domina para moderados x_0.

Passo 5

Cálculo numérico para cada caso. Vou calcular x_0=\dfrac{E_0}{kT} para cada pedido e avaliar a fórmula. Usarei valores numéricos padrões: \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\approx 1,128379167. Para \operatorname{erfc} uso valores/ aproximações conhecidas (ou a expansão assintótica quando necessário); mostro os termos intermediários para ficar claro como chegar ao número final.
  1. Para E_0=kT x_0=1.
    • \sqrt{x_0}=1.
    • \operatorname{erfc}(1)=1-\operatorname{erf}(1)\approx 0,1572992071.
    • segundo termo: \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{x_0}e^{-x_0}\approx 1,128379167\times 1\times e^{-1}\approx 1,128379167\times 0,3678794412\approx 0,4151075.
    • Soma: P(E>kT)\approx 0,1572992+0,4151075\approx 0,5724067.
  2. Para E_0=2kT x_0=2.
    • \sqrt{x_0}=\sqrt{2}\approx 1,41421356.
    • \operatorname{erfc}(\sqrt{2})\approx 0,0455002639.
    • segundo termo: 1,128379167\times 1,41421356\times e^{-2}. Como e^{-2}\approx 0,1353352832, temos 1,41421356\times 0,1353352832\approx 0,19150635 e multiplicando por 1,128379167 \approx 0,2152419.
    • Soma: P(E>2kT)\approx 0,0455003+0,2152419\approx 0,2607422.
  3. Para E_0=5kT x_0=5.
    • \sqrt{x_0}=\sqrt{5}\approx 2,23606798.
    • \operatorname{erfc}(\sqrt{5}) é pequeno; usando a expansão assintótica (ou tabelas) obtemos aproximadamente 0,0015816.
    • segundo termo: 1,128379167\times 2,23606798\times e^{-5}. Como e^{-5}\approx 0,006737946999, o produto interno é 2,23606798\times 0,006737947\approx 0,015066087 e multiplicando por 1,128379167 \approx 0,0170059.
    • Soma: P(E>5kT)\approx 0,0015816+0,0170059\approx 0,0185875.
  4. Para E_0=10kT x_0=10.
    • \sqrt{x_0}=\sqrt{10}\approx 3,16227766.
    • \operatorname{erfc}(\sqrt{10}) é muito pequeno; pela expansão obtemos cerca de 0,00000775.
    • segundo termo: 1,128379167\times 3,16227766\times e^{-10}. Como e^{-10}\approx 4,53999298\times10^{-5}, o produto interno é 3,16227766\times 4,539993\cdot10^{-5}\approx 0,000143641 e multiplicando por 1,128379167 \approx 0,000162041.
    • Soma: P(E>10kT)\approx 0,00000775+0,000162041\approx 0,0001698.
Interpretação curta: a fração decai rapidamente com E_0; já em 5kT só ~1,86% das moléculas têm energia maior que isso; em 10kT a fração é da ordem de 10^{-4}.

Resposta

P(E>kT)\approx 0,5724
P(E>2kT)\approx 0,2607
P(E>5kT)\approx 0,01859
P(E>10kT)\approx 0,0001698

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