Para as duas questões a seguir, seja E a região delimitada pela elipse dada por
\left(\begin{array}{ll} x & y \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 73 & -36 \\\\ -36 & 52 \end{array}\right)\binom{x}{y}=125 \Longleftrightarrow 73 x^{2}+2 \cdot(-36) \cdot x y+52 y^{2}=125
Sabe-se que dois autovetores da matriz 2 \times 2 acima são v_{1}=(3,4) e v_{2}=(-4,3) (acredite em mim, é verdade).
Qual o valor de \int_{E}(4 x-3 y)^{2} d x \wedge d y ?
(a) \frac{625 \pi}{3 \sqrt{3}}
(b) \frac{125 \pi}{\sqrt{3}}
(c) \frac{625 \pi}{4 \cdot 6 \sqrt{6}}
(d) \frac{625 \pi}{4 \cdot 4 \sqrt{4}}
(e) \frac{125 \pi}{4 \cdot 5 \sqrt{5}}
O método é diagonalizar essa forma quadrática (encontrar autovalores e autovetores), passar a coordenadas principais e então usar uma fórmula padrão para integrais de x_2^2 sobre elipse.
Passo 2
A matriz
A=\begin{pmatrix}73&-36\\\ -36&52\end{pmatrix}
é simétrica. Já nos deram os autovetores \,v_{1}=(3,4) e v_{2}=(-4,3). Calculando