Para as duas questões a seguir, seja E a região delimitada pela elipse dada por
\left(\begin{array}{ll} x & y \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 73 & -36 \\\\ -36 & 52 \end{array}\right)\binom{x}{y}=125 \Longleftrightarrow 73 x^{2}+2 \cdot(-36) \cdot x y+52 y^{2}=125
Sabe-se que dois autovetores da matriz 2 \times 2 acima são v_{1}=(3,4) e v_{2}=(-4,3) (acredite em mim, é verdade).
Qual o valor de \int_{E}(4 x-3 y)^{2} d x \wedge d y ?
(a) \frac{625 \pi}{3 \sqrt{3}}
(b) \frac{125 \pi}{\sqrt{3}}
(c) \frac{625 \pi}{4 \cdot 6 \sqrt{6}}
(d) \frac{625 \pi}{4 \cdot 4 \sqrt{4}}
(e) \frac{125 \pi}{4 \cdot 5 \sqrt{5}}

Passo 1

O enunciado pede
\int_{E}(4x-3y)^{2}\,dx\wedge dy
onde E é a região do plano definida por
(x,y)\begin{pmatrix}73&-36\\\ -36&52\end{pmatrix}\binom{x}{y}=125.
O método é diagonalizar essa forma quadrática (encontrar autovalores e autovetores), passar a coordenadas principais e então usar uma fórmula padrão para integrais de x_2^2 sobre elipse.

Passo 2

A matriz
A=\begin{pmatrix}73&-36\\\ -36&52\end{pmatrix}
é simétrica. Já nos deram os autovetores
\,v_{1}=(3,4) e v_{2}=(-4,3). Calculando
A\,v_{1}=(219-144,\,-108+208)=(75,100)=25\,(3,4),
logo \lambda_{1}=25. E
A\,v_{2}=(-292-108,\;144+156)=(-400,300)=100\,(-4,3),
logo \lambda_{2}=100.

Passo 3

Nas coordenadas principais (\xi_{1},\xi_{2}) ao longo de v_{1},v_{2}, a elipse vira
\lambda_{1}\,\xi_{1}^{2}+\lambda_{2}\,\xi_{2}^{2}=125 \;\Longrightarrow\; 25\,\xi_{1}^{2}+100\,\xi_{2}^{2}=125 \;\Longrightarrow\; \frac{\xi_{1}^{2}}{5}+\frac{\xi_{2}^{2}}{1{,}25}=1.
Então os semieixos são
\,a=\sqrt{5} e \,b=\sqrt{1{,}25}=\tfrac{\sqrt5}{2}, com área \pi ab=\tfrac{5\pi}{2}.

Passo 4

Note que a função linear
L(x,y)=4x-3y
é paralela ao vetor (4,-3)=-1\cdot(-4,3), ou seja, ao autovetor v_{2}. Se normalizamos v_{2} por e_{2}=v_{2}/5, então
L(x,y)=(4,-3)\cdot(x,y)=-5\,(e_{2}\!\cdot(x,y))=-5\,\xi_{2}.
Logo
(4x-3y)^{2}=25\,\xi_{2}^{2}.

Passo 5

Fica
\int_{E}(4x-3y)^{2}\,dA =25\int_{E}\xi_{2}^{2}\,dA.
Mas em coordenadas canônicas da elipse,
\int_{E}\xi_{2}^{2}\,dA =\;a\,b^{3}\;\frac{\pi}{4} \;=\;\sqrt{5}\,\Bigl(\tfrac{\sqrt5}{2}\Bigr)^{3}\;\frac{\pi}{4} =\frac{25\pi}{32}.
Multiplicando por 25
25\;\cdot\;\frac{25\pi}{32} =\frac{625\pi}{32}.

Resposta

(d) \displaystyle \frac{625\pi}{4\cdot4\sqrt{4}}=\frac{625\pi}{32}

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