7^{\text {a }} Questão: Uma partícula move-se ao longo de uma reta. Sua função velocidade é:
V(t)=5 / t-4 \cos (2 t),
Encontre as função deslocamento e aceleração da partícula.

Passo 1

O enunciado nos dá a função velocidade \,V(t)=\frac{5}{t}-4\cos(2t)\, de uma partícula que se move ao longo de uma reta. Para obter o deslocamento x(t) precisamos integrar V(t) em relação a t, e para achar a aceleração a(t) basta derivar V(t).

Passo 2

Para encontrar o deslocamento x(t) calculamos a antiderivada de cada termo de V(t):
\int \frac{5}{t}\,dt = 5\ln|t|,\qquad \int -4\cos(2t)\,dt = -4\cdot\frac{\sin(2t)}{2} = -2\sin(2t).
Pela linearidade da integral,
x(t)=\int V(t)\,dt = 5\ln|t| - 2\sin(2t) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Para obter a aceleração a(t) derivamos V(t):
\frac{d}{dt}\!\Bigl(\tfrac{5}{t}\Bigr) = -\frac{5}{t^2},\qquad \frac{d}{dt}\!\bigl(-4\cos(2t)\bigr) = -4\cdot(-2\sin(2t)) = 8\sin(2t).
Somando os resultados,
a(t) = -\frac{5}{t^2} + 8\sin(2t).

Resposta

x(t)=5\ln|t|-2\sin(2t)+C a(t)=-\displaystyle\frac{5}{t^2}+8\sin(2t)

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