O coeficiente de compressibilidade isotérmica de um gás de van der Waals segue a equação seguinte:
\beta=\left[\mathrm{V}^{2}(\mathrm{~V}-\mathrm{b})^{2}\right] /\left[\mathrm{RTV}^{3}-2 \mathrm{a}(\mathrm{V}-\mathrm{b})^{2}\right]
Mostre que no limite de baixas pressões (grandes volumes) a expressão anterior se transforma na obtida para um gás ideal.

Passo 1

O enunciado dá o coeficiente de compressibilidade isotérmica de um gás de van der Waals como
\beta = \frac{V^{2}(V - b)^{2}}{R T\,V^{3} - 2a\,(V - b)^{2}}
e pede que mostremos que, no limite de baixas pressões (ou seja, V\to\infty), essa expressão passa à do gás ideal, para o qual \beta_{\rm ideal}=1/p.

Passo 2

Para V\gg b podemos aproximar
(V - b)^{2} = V^{2} - 2bV + b^{2} \approx V^{2},
pois os termos em b são de ordem inferior em V. Substituindo essa aproximação em \beta temos
\beta \approx \frac{V^{2}\,V^{2}}{R T\,V^{3} - 2a\,V^{2}} = \frac{V^{4}}{R T\,V^{3} - 2a\,V^{2}} = \frac{V^{4}}{V^{2}\bigl(R T\,V - 2a\bigr)} = \frac{V^{2}}{R T\,V - 2a}.
Como V\to\infty, o termo R T\,V domina sobre 2a, de modo que
\beta \;\longrightarrow\; \frac{V^{2}}{R T\,V} = \frac{V}{R T}.

Passo 3

No gás ideal vale a equação de estado
p\,V = R\,T \quad\Longrightarrow\quad \frac{V}{R\,T} = \frac{1}{p},
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\beta \;\longrightarrow\;\frac{V}{R T} = \frac{1}{p},
que é exatamente o coeficiente de compressibilidade isotérmica de um gás ideal.

Resposta

No limite de baixas pressões (grandes volumes),
\beta \to \frac{1}{p},
como no gás ideal.

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