Se o coeficiente de descarga é 0,985, d=75 \mathrm{~mm}, D=150 \mathrm{~mm}, \rho_{L M}=13.550 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \rho=998 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, g=9,785 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \mu=0,001 \mathrm{~kg} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}) e \Delta h=200 mmHg , pede-se (as respostas devem ser apresentadas com 6 (seis) algarismos significativos): a vazão real de líquido, \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}, e o número de Reynolds com base no diâmetro D. Se necessário, adote valores!

Passo 1

O enunciado trata de um orifício de diâmetro interno D=0,150 m com um giclê de diâmetro d=0,075 m, montado em linha de um líquido ( \rho=998 kg/ m^{3}, \mu=0{,}001 kg/( m\cdot s)). A diferença de pressão no orifício é medida por um manômetro de mercúrio ( \rho_{LM}=13.550 kg/ m^{3}) que indica \Delta h=0,200 m. Queremos (a) a vazão real Q em m^{3}/h e (b) o número de Reynolds na tubulação de diâmetro D. Para isso aplicamos o balanço de energia (Bernoulli) entre montante e vena contrata junto com a equação da continuidade e a leitura do manômetro.

Passo 2

Calcular a diferença de pressão \Delta P a partir do manômetro de mercúrio. A relação é
\Delta P = \bigl(\rho_{LM}-\rho\bigr)\,g\,\Delta h.
Substituindo
\rho_{LM}-\rho = 13.550 - 998 = 12.552\quad(\text{kg/m}^3),
g = 9{,}785\;\text{m/s}^2,\quad \Delta h = 0{,}200\;\text{m},
temos
\Delta P = 12.552 \times 9{,}785 \times 0{,}200 = 24\,559{,}1\;\text{Pa}.

Passo 3

Determinar a vazão teórica Q_{th} para orifício, antes do coeficiente de descarga. Pela continuidade v_1A_1=v_2A_2 e Bernoulli:
P_1-P_2 = \frac{\rho}{2}\,\bigl(v_2^2 - v_1^2\bigr) = \frac{\rho}{2}\,v_2^2\bigl[1-(d/D)^4\bigr].
Logo
v_2 = \sqrt{\frac{2\,\Delta P}{\rho\bigl[1-(d/D)^4\bigr]}}.
Definindo \beta=\tfrac{d}{D}=0,5 e
A_2 = \frac{\pi\,d^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}075)^2}{4} = 4{,}4179\times10^{-3}\;\text{m}^2,
temos
Q_{th} = A_2\,v_2 = A_2 \,\sqrt{\frac{2\,\Delta P}{\rho\bigl(1-\beta^4\bigr)}}.
Numericamente
1-\beta^4 = 1 - 0{,}5^4 = 0{,}9375,
v_2 = \sqrt{\frac{2\times24\,559{,}1}{998\times0{,}9375}} = 7{,}24406\;\text{m/s},
Q_{th} = 4{,}4179\times10^{-3}\times7{,}24406 = 0{,}0320075\;\text{m}^3/\text{s}.

Passo 4

Aplicar o coeficiente de descarga C_d=0,985 e converter para m^{3}/h:
Q = C_d\,Q_{th} = 0{,}985 \times 0{,}0320075 = 0{,}0315574\;\text{m}^3/\text{s},
Q_{\text{h}} = Q \times 3600 = 0{,}0315574 \times 3600 = 113{,}6070\;\text{m}^3/\text{h}.

Passo 5

Calcular o número de Reynolds com base em D. Primeiro a velocidade média montante v_1 = Q/A_1, onde
A_1 = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}150)^2}{4} = 1{,}76715\times10^{-2}\;\text{m}^2,
v_1 = \frac{0{,}0315574}{1{,}76715\times10^{-2}} = 1{,}78581\;\text{m/s}.
Então
\mathrm{Re}_D = \frac{\rho\,v_1\,D}{\mu} = \frac{998 \times 1{,}78581 \times 0{,}150}{0{,}001} = 2{,}67336\times10^5.

Resposta

A vazão real é
Q = 113{,}607\;\text{m}^3/\text{h}
e o número de Reynolds vale
\mathrm{Re}_D = 2{,}67336\times10^5.

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