Supondo que as funções abaixo sejam 2 \pi\) - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas : \(f(x)= \begin{cases}-1, & \text { se } x \in[-\pi, 0] \\\\ 1, & \text { se } x \in[0, \pi] ;\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi\) da função em bloco \[f(x)= \begin{cases} -1,& x\in[-\pi,0],\\\ \;\;1,& x\in[0,\pi]. \end{cases}
O conteúdo aqui é “série de Fourier em [-\pi,\pi]\]”: vamos calcular os coeficientes \(\displaystyle a_0,\;a_n,\;b_n
e montar
f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).

Passo 2

As fórmulas gerais são
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx, \quad a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 3

Calcular a_0:
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\int_{-\pi}^{0}(-1)\,dx+\int_{0}^{\pi}1\,dx =-\bigl[\,x\bigr]_{-\pi}^{0}+\bigl[\,x\bigr]_{0}^{\pi} =-\bigl(0-(-\pi)\bigr)+(\pi-0) =-\pi+\pi=0.
Logo
a_0=\frac{1}{\pi}\cdot0=0.

Passo 4

Calcular a_n:
a_n =\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}^{0}(-1)\cos(nx)\,dx+\int_{0}^{\pi}1\cdot\cos(nx)\,dx\Bigr).
Mas \cos(nx) é função par, e o peso -1 em [-\pi,0] cancela o +1 em [0,\pi]. Formalmente,
\int_{-\pi}^{0}\cos(nx)\,dx =\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx =\frac{\sin(n\pi)-\sin(0)}{n}=0,
logo cada integral vale zero e
a_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 5

Calcular b_n:
b_n =\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}^{0}(-1)\sin(nx)\,dx+\int_{0}^{\pi}1\cdot\sin(nx)\,dx\Bigr).
Primeiro note
\int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx =\Bigl[-\frac{\cos(nx)}{n}\Bigr]_{-\pi}^{0} =\frac{-\cos(0)+\cos(-n\pi)}{n} =\frac{-1+(-1)^n}{n}.
Então o termo de [-\pi,0] fica
-\,\frac{-1+(-1)^n}{n} =\frac{1-(-1)^n}{n}.
E
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx =\Bigl[-\frac{\cos(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{-\cos(n\pi)+\cos(0)}{n} =\frac{-(-1)^n+1}{n} =\frac{1-(-1)^n}{n}.
Somando e multiplicando por 1/\pi:
b_n =\frac{1}{\pi}\Bigl(\frac{1-(-1)^n}{n}+\frac{1-(-1)^n}{n}\Bigr) =\frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n\pi}.
Como 1-(-1)^n é zero para n par e 2 para n ímpar, obtemos
b_n= \begin{cases} \displaystyle \frac{4}{n\pi},&n\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}. \end{cases}í

Passo 6

Substituindo na série geral, só aparecem termos de seno com n ímpar:
f(x)\sim \sum_{m=1}^{\infty}b_{2m-1}\sin\bigl((2m-1)x\bigr) =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{4}{(2m-1)\pi}\,\sin\bigl((2m-1)x\bigr).

Resposta

\boxed{ f(x) =\frac{4}{\pi}\Bigl(\sin x+\frac{1}{3}\sin(3x)+\frac{1}{5}\sin(5x)+\cdots\Bigr). }

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