Seja f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}. Encontre:
a) assíntotas vertical e horizontal;
b) intervalos nos quais f(x) é crescente ou decrescente;
c) valores máximos e mínimos locais;
d) intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
e) Esboce o gráfico de f(x) usando (a), (b), (c), (d).
Obs: Organize as informações usando uma tabela: Intervalo/ x onde f(x), f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x) conclusão.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4},
com domínio \{x\in\mathbb{R}:x\neq \pm2\}.
Precisamos de:
  • (a) assíntotas vertical e horizontal;
  • (b) intervalos de monotonicidade via f'(x);
  • (c) extremos locais;
  • (d) concavidade e pontos de inflexão via f''(x);
  • (e) esboço do gráfico;
    e organizar tudo numa tabela de intervalos, sinais de f' e f'' e conclusão.

Passo 2

Assíntotas:
Vertical onde o denominador se anula, ou seja, em x=\pm2.
Horizontal é
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}-4} =1,
logo y=1.

Passo 3

Derivada primeira:
f'(x) =\frac{(2x)(x^{2}-4)-x^{2}(2x)}{(x^{2}-4)^{2}} =\frac{-8x}{(x^{2}-4)^{2}}.
O numerador é -8x, o denominador é sempre positivo no domínio. Assim
\operatorname{sgn}f'(x)=\operatorname{sgn}(-x).
Há único ponto crítico em x=0.

Passo 4

Monotonicidade e extremos:
  • Se x<0, então -x>0 e f'(x)>0 \Rightarrow f cresce.
  • Se x>0, então -x<0 e f'(x)<0 \Rightarrow f decresce.
    Em x=0 troca-se de crescente para decrescente \Rightarrow máximo local em (0,f(0))=(0,0).

Passo 5

Derivada segunda:
f'(x)=-8x\,(x^{2}-4)^{-2},
f''(x) =-8\,(x^{2}-4)^{-2} +(-8x)(-2)(x^{2}-4)^{-3}(2x) =\frac{8\,(3x^{2}+4)}{(x^{2}-4)^{3}}.
O numerador é sempre positivo, então
\operatorname{sgn}f''(x)=\operatorname{sgn}\bigl((x^{2}-4)^{-3}\bigr) =\begin{cases} +1,&|x|>2,\\\\ -1,&|x|<2. \end{cases}
Logo f é côncava para cima em (-\infty,-2)\cup(2,\infty) e côncava para baixo em (-2,2). Não há pontos de inflexão no domínio porque f''(x) nunca se anula em \mathbb{R}\setminus\{\pm2\}.

Passo 6

Tabela resumo:
Intervalo f'(x) f''(x) Conclusão
(-\infty,-2) + + crescente, conc. para cima
(\\ -2,0) + - crescente, conc. para baixo
(0,2) - - decrescente, conc. para baixo
(2,\infty) - + decrescente, conc. para cima

Passo 7

Esboço do gráfico via características:
  • Assíntotas verticais x=-2 e x=2.
  • Assíntota horizontal y=1.
  • Máximo local em (0,0).
  • Ramo à esquerda de x=-2: cresce e é côncavo para cima, vai de y\to1^+ até +\infty.
  • Ramo central (-2,2): cresce em (-2,0), decresce em (0,2), côncavo para baixo.
  • Ramo à direita de x=2: decresce e é côncavo para cima, vai de +\infty para y\to1^+.

Resposta

(a) Assíntotas: vertical em x=\pm2, horizontal em y=1.
(b) f cresce em (-\infty,-2)\cup(-2,0) e decresce em (0,2)\cup(2,\infty).
(c) Máximo local em x=0 com valor f(0)=0.
(d) Concavidade para cima em (-\infty,-2)\cup(2,\infty), para baixo em (-2,2); sem pontos de inflexão no domínio.
(e) Gráfico esboçado conforme descrito, com os três ramos e as assíntotas indicadas.

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