Seja f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}. Encontre:
a) assíntotas vertical e horizontal;
b) intervalos nos quais f(x) é crescente ou decrescente;
c) valores máximos e mínimos locais;
d) intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
e) Esboce o gráfico de f(x) usando (a), (b), (c), (d).
Obs: Organize as informações usando uma tabela: Intervalo/ x onde f(x), f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x) conclusão.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4},
com domínio \{x\in\mathbb{R}:x\neq \pm2\}.
Precisamos de:
(a) assíntotas vertical e horizontal;
(b) intervalos de monotonicidade via f'(x);
(c) extremos locais;
(d) concavidade e pontos de inflexão via f''(x);
(e) esboço do gráfico;
e organizar tudo numa tabela de intervalos, sinais de f' e f'' e conclusão.
Passo 2
Assíntotas: Vertical onde o denominador se anula, ou seja, em x=\pm2. Horizontal é
Logo f é côncava para cima em (-\infty,-2)\cup(2,\infty) e côncava para baixo em (-2,2). Não há pontos de inflexão no domínio porque f''(x) nunca se anula em \mathbb{R}\setminus\{\pm2\}.
Passo 6
Tabela resumo:
Intervalo
f'(x)
f''(x)
Conclusão
(-\infty,-2)
+
+
crescente, conc. para cima
(\\ -2,0)
+
-
crescente, conc. para baixo
(0,2)
-
-
decrescente, conc. para baixo
(2,\infty)
-
+
decrescente, conc. para cima
Passo 7
Esboço do gráfico via características:
Assíntotas verticais x=-2 e x=2.
Assíntota horizontal y=1.
Máximo local em (0,0).
Ramo à esquerda de x=-2: cresce e é côncavo para cima, vai de y\to1^+ até +\infty.
Ramo central (-2,2): cresce em (-2,0), decresce em (0,2), côncavo para baixo.
Ramo à direita de x=2: decresce e é côncavo para cima, vai de +\infty para y\to1^+.
Resposta
(a) Assíntotas: vertical em x=\pm2, horizontal em y=1.
(b) f cresce em (-\infty,-2)\cup(-2,0) e decresce em (0,2)\cup(2,\infty).
(c) Máximo local em x=0 com valor f(0)=0.
(d) Concavidade para cima em (-\infty,-2)\cup(2,\infty), para baixo em (-2,2); sem pontos de inflexão no domínio.
(e) Gráfico esboçado conforme descrito, com os três ramos e as assíntotas indicadas.