Reescreva as séries em uma única série de forma que o termo geral envolva x^{n}.
a) \sum_{n=1}^{\infty} 2 n c_{n} x^{n-1}+\sum_{n=0}^{\infty} 6 c_{n} x^{n+1}

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
\sum_{n=1}^{\infty}2n\,c_{n}\,x^{n-1} \;+\;\sum_{n=0}^{\infty}6\,c_{n}\,x^{n+1}
em uma única série de potências cujo termo geral seja da forma \dots x^n. O conteúdo aqui é manipulação de séries de potências e mudança de índice.

Passo 2

Na primeira soma fazemos a troca de índice n=k+1. Quando n=1 temos k=0 e n\to\infty k\to\infty. Além disso x^{n-1}=x^k. Logo,
\sum_{n=1}^{\infty}2n\,c_{n}\,x^{n-1} =\sum_{k=0}^{\infty}2(k+1)\,c_{k+1}\,x^{k}.

Passo 3

Na segunda soma fazemos n=k-1. Quando n=0 temos k=1 e n\to\infty k\to\infty. Também x^{n+1}=x^k. Assim,
\sum_{n=0}^{\infty}6\,c_{n}\,x^{n+1} =\sum_{k=1}^{\infty}6\,c_{k-1}\,x^{k}.

Passo 4

Somando as duas séries em potência de x^k obtemos
\sum_{k=0}^{\infty}2(k+1)c_{k+1}\,x^{k} \;+\;\sum_{k=1}^{\infty}6\,c_{k-1}\,x^{k}.
Para unificar em um único índice começando em k=0 basta estender a segunda soma a k=0, adotando a convenção c_{-1}=0. Então
\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(2(k+1)c_{k+1}+6\,c_{k-1}\bigr)\,x^{k}.
Finalmente renomeamos k para n no termo geral.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(2(n+1)c_{n+1}+6\,c_{n-1}\bigr)\,x^{n},
com a convenção de que c_{-1}=0.

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