Qual o coeficiente de x^6 no desenvolvimento de (x^2+x^-3)^8 ?

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^6 em l(x^2 + x^-3r)^8. Vamos usar o Teorema do Binômio, que diz que
l(a+br)^n = sumk=0^n binomnk a^,n-k b^,k
Aqui temos a = x^2, b = x^-3 e n = 8.

Passo 2

O termo geral da expansão é
Tk = binom8k l(x^2r)^8-k l(x^-3r)^k = binom8k , x^2(8-k) , x^-3k = binom8k , x^16 - 2k - 3k = binom8k , x^16 - 5k

Passo 3

Para que o expoente seja 6, igualamos
16 - 5k = 6 Longrightarrow 5k = 10 Longrightarrow k = 2

Passo 4

O coeficiente procurado é, então,
binom82 = 8 cdot 72 cdot 1 = 28

Resposta

O coeficiente de x^6 é 28.

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