Derive as seguintes funções:
y=ln (1+x^x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos derivar a função y = ln(1 + x^x) . O conteúdo envolvido aqui é cálculo, especificamente a derivação usando regras de derivação de funções compostas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e entender como derivar funções que têm a variável no expoente.

Passo 2

Vamos começar identificando a função que estamos derivando:
y = ln(1 + x^x)
Para derivar isso, usaremos a Regra da Cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de ln(u) em relação a x é:
dydx = 1u cdot dudx
Aqui, u = 1 + x^x . Então, precisamos primeiro encontrar dudx .

Passo 4

Agora, vamos derivar u = 1 + x^x .
A derivada de 1 é 0, então focamos em derivar x^x . Para derivar x^x , usamos a Reescrita Logarítmica:
x^x = e^x ln(x)
Agora, derivamos usando a Regra da Cadeia novamente.

Passo 5

Derivando e^x ln(x) :
ddx(e^x ln(x)) = e^x ln(x) cdot ddx(x ln(x))
Agora, precisamos derivar x ln(x) usando a Regra do Produto:
ddx(x ln(x)) = ln(x) cdot ddx(x) + x cdot ddx(ln(x))
= ln(x) cdot 1 + x cdot 1x
= ln(x) + 1

Passo 6

Substituindo de volta:
ddx(x^x) = e^x ln(x) cdot (ln(x) + 1)
= x^x (ln(x) + 1)
Então, dudx = x^x (ln(x) + 1) .

Passo 7

Voltando à derivada original:
dydx = 11 + x^x cdot x^x (ln(x) + 1)
Podemos simplificar:
dydx = x^x (ln(x) + 1)1 + x^x

Resposta

A derivada da função y = ln(1 + x^x) é:
dydx = x^x (ln(x) + 1)1 + x^x

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