Qual o coeficiente do termo em x^{2} y^{3} z^{2} no desenvolvimento de (x+y+z)^{7}?

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente do termo x^{2}y^{3}z^{2} no desenvolvimento de (x+y+z)^{7}.
O conteúdo é o Teorema Multinomial, que generaliza o Teorema Binomial para mais de duas variáveis.

Passo 2

Pelo Teorema Multinomial, o coeficiente de x^{a}y^{b}z^{c} em (x+y+z)^{n}, com a+b+c=n, é
\frac{n!}{a!\,b!\,c!}.
Aqui temos n=7, a=2, b=3 e c=2.

Passo 3

Substituindo na fórmula, o coeficiente é
\frac{7!}{2!\,3!\,2!} =\frac{5040}{2\cdot6\cdot2} =\frac{5040}{24} =210.

Resposta

210

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