(2,5 pontos) Considere a equaçĩo de Bernoulli
. Encontre a solução geral da equação diferencial acima, utilizando o método da equação de Bernoulli. Em seguida, encontre a única solução que satisfaz
.
Passo 1
O enunciado dá a equação de Bernoulli
e pede a solução geral e a única solução que satisfaz
. Vamos usar o método da equação de Bernoulli, que envolve primeiro escrever a equação na forma
e depois fazer a substituição
.
Passo 2
Dividindo a equação original por
(supondo
) obtemos
que é de fato uma Bernoulli com
Passo 3
Na técnica de Bernoulli, fazemos a troca
Calculando
em função de
temos
Passo 4
Reescrevendo a equação original em termos de
, dividimos por
:
Como
e
, a equação vira
Passo 5
Essa é uma equação linear em
. Escrevemos
O fator integrante é
Multiplicando tudo por
resulta
Integrando,
Voltando a
, temos
Passo 6
Há ainda a solução singular que perdemos ao dividir por
, que é
De fato, se
então
, satisfazendo a equação.
Passo 7
Para a condição
, a forma geral
nunca zera para
com
finito. Logo a única forma de ter
é usar a solução singular
Resposta
A solução geral é
além da solução singular
.
A única solução que satisfaz
é