(2,5 pontos) Considere a equaçĩo de Bernoulli x y^{\prime}+y=y^{2}. Encontre a solução geral da equação diferencial acima, utilizando o método da equação de Bernoulli. Em seguida, encontre a única solução que satisfaz y(1)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Bernoulli
x\,y' + y = y^2
e pede a solução geral e a única solução que satisfaz y(1)=0. Vamos usar o método da equação de Bernoulli, que envolve primeiro escrever a equação na forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^n
e depois fazer a substituição z = y^{1-n}.

Passo 2

Dividindo a equação original por x (supondo x\neq0) obtemos
y' + \frac{1}{x}\,y = \frac{1}{x}\,y^2,
que é de fato uma Bernoulli com
P(x) = \frac{1}{x}, \quad Q(x) = \frac{1}{x}, \quad n = 2.

Passo 3

Na técnica de Bernoulli, fazemos a troca
z = y^{1-n} = y^{-1}.
Calculando z' em função de y' temos
z = \frac{1}{y}, \quad z' = -\frac{y'}{y^2}.

Passo 4

Reescrevendo a equação original em termos de y'/y^2, dividimos por y^2:
x\,\frac{y'}{y^2} + \frac{y}{y^2} = \frac{y^2}{y^2} \quad\Longrightarrow\quad x\,\frac{y'}{y^2} + \frac{1}{y} = 1.
Como \frac{y'}{y^2} = -z' e \frac{1}{y}=z, a equação vira
-x\,z' + z = 1 \quad\Longrightarrow\quad x\,z' - z = -1.

Passo 5

Essa é uma equação linear em z. Escrevemos
z' - \frac{1}{x}\,z = -\frac{1}{x}.
O fator integrante é
\mu(x) = e^{-\int \frac{1}{x}\,dx} = e^{-\ln x} = x^{-1}.
Multiplicando tudo por x^{-1} resulta
\bigl(z\,x^{-1}\bigr)' = -x^{-2}.
Integrando,
z\,x^{-1} = \int -x^{-2}\,dx = x^{-1} + C \quad\Longrightarrow\quad z = 1 + C\,x.
Voltando a y, temos
y = \frac{1}{z} = \frac{1}{1 + C\,x}.

Passo 6

Há ainda a solução singular que perdemos ao dividir por y, que é
y(x) \equiv 0.
De fato, se y=0 então x\,y'+y = x\cdot0 + 0 = 0 = y^2, satisfazendo a equação.

Passo 7

Para a condição y(1)=0, a forma geral y=1/(1+C\,x) nunca zera para x=1 com C finito. Logo a única forma de ter y(1)=0 é usar a solução singular
y(x)\equiv0.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \frac{1}{1 + C\,x},
além da solução singular y(x)\equiv0.
A única solução que satisfaz y(1)=0 é
y(x)\equiv0.

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