Qual o coeficiente de x^{5} no desenvolvimento de $(1+x+x{2}){10} ?

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{5} em (1+x+x^{2})^{10}. O conteúdo é a aplicação do Teorema Multinomial (caso trinomial), em que cada termo da expansão é dado por
\frac{10!}{i!\,j!\,k!}\,1^{i}x^{j}(x^{2})^{k}
com i+j+k=10.

Passo 2

Na expansão, o expoente de x em cada termo vale j+2k. Logo, o coeficiente de x^{5} é
\sum_{\substack{i+j+k=10\j+2k=5}}\frac{10!}{i!\,j!\,k!}.

Passo 3

Resolvendo j+2k=5 com j,k\ge0 e i=10-j-k, encontramos as soluções inteiras:
(k=0,\;j=5,\;i=5),\quad (k=1,\;j=3,\;i=6),\quad (k=2,\;j=1,\;i=7).

Passo 4

Calculamos o coeficiente multinomial em cada caso:
Para (i,j,k)=(5,5,0):
\frac{10!}{5!\,5!\,0!}=252.
Para (6,3,1):
\frac{10!}{6!\,3!\,1!}=840.
Para (7,1,2):
\frac{10!}{7!\,1!\,2!}=360.

Passo 5

Somando esses valores, obtemos
252 + 840 + 360 = 1452.

Resposta

O coeficiente de x^{5} em (1+x+x^{2})^{10} é 1452.

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