Mostre que o coeficiente de
no desenvolvimento
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o coeficiente de
na expansão de
O conteúdo que vamos usar é o Teorema Multinomial, que generaliza o binomial para três ou mais termos.
Passo 2
Pelo Teorema Multinomial, ao expandir
qualquer termo resulta de escolher
fatores
,
fatores
e
fatores
, com
e seu coeficiente é
No nosso caso
,
e
. O expoente de
nesse termo será
que precisa ser igual a
.
Passo 3
Resolvemos o sistema inteiro
Da segunda equação vêm duas soluções inteiras não negativas:
-
e , então . -
e , então .
Passo 4
Calculamos a contribuição para cada caso:
Caso
:
Caso
:
Passo 5
Somando as contribuições de ambos os casos obtemos