Mostre que o coeficiente de x^{3} no desenvolvimento
\left(1+3 x+2 x^{2}\right)^{10} \text { é } 3780é

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o coeficiente de x^{3} na expansão de
\bigl(1 + 3x + 2x^{2}\bigr)^{10}.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema Multinomial, que generaliza o binomial para três ou mais termos.

Passo 2

Pelo Teorema Multinomial, ao expandir \bigl(a+b+c\bigr)^{10} qualquer termo resulta de escolher i fatores a, j fatores b e k fatores c, com
i + j + k = 10,
e seu coeficiente é
\frac{10!}{i!\,j!\,k!}\,a^{i}b^{j}c^{k}.
No nosso caso a=1, b=3x e c=2x^{2}. O expoente de x nesse termo será
j + 2k,
que precisa ser igual a 3.

Passo 3

Resolvemos o sistema inteiro
\begin{cases} i + j + k = 10,\\\ j + 2k = 3. \end{cases}
Da segunda equação vêm duas soluções inteiras não negativas:
  1. k=0 e j=3, então i=10-3-0=7.
  2. k=1 e j=1, então i=10-1-1=8.

Passo 4

Calculamos a contribuição para cada caso:
Caso (i,j,k)=(7,3,0):
\frac{10!}{7!\,3!\,0!}\,1^{7}\,(3)^{3}\,(2)^{0} = \frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}\cdot27 =120\cdot27 =3240.
Caso (i,j,k)=(8,1,1):
\frac{10!}{8!\,1!\,1!}\,1^{8}\,(3)^{1}\,(2)^{1} = \bigl(10\cdot9\bigr)\cdot3\cdot2 =90\cdot6 =540.

Passo 5

Somando as contribuições de ambos os casos obtemos
3240 + 540 = 3780.

Resposta

3780

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