Desenvolvendo o polinómio (x+y+z)^{4}, qual o coeficiente do termo em x^{2} y z?

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver (x+y+z)^{4} e identificar o coeficiente do termo em x^{2}y\,z. O conteúdo usado aqui é o Teorema Multinomial, que nos dá de forma direta o coeficiente de cada termo na expansão de um somatório elevado a uma potência.

Passo 2

O Teorema Multinomial afirma que, em
(x+y+z)^{n}
o coeficiente do termo x^{i}y^{j}z^{k} (com i+j+k=n) é dado por
\frac{n!}{i!\,j!\,k!}\,.

Passo 3

No nosso caso temos n=4 e queremos o termo em x^{2}y^{1}z^{1}. Logo, os índices são i=2, j=1 e k=1, que satisfazem 2+1+1=4.

Passo 4

Calculamos então o coeficiente usando a fórmula multinomial:
\frac{4!}{2!\,1!\,1!} =\frac{24}{2\cdot1\cdot1} =12.

Resposta

O coeficiente do termo em x^{2}y\,z é 12.

Exercícios relacionados