Qual o coeficiente de x y z no desenvolvimento de $(x+y+z)^{3} ?

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x\,y\,z na expansão de (x+y+z)^{3}. Vamos usar o Teorema Multinomial, que generaliza o Binomial para somas com mais de duas parcelas. Segundo esse teorema, o coeficiente de x^{a}y^{b}z^{c} em (x+y+z)^{n} é dado por
\frac{n!}{a!\,b!\,c!},
desde que a+b+c=n.

Passo 2

Aqui temos n=3 e queremos o termo com a=b=c=1, pois x\,y\,z = x^{1}y^{1}z^{1} e 1+1+1=3. Substituindo na fórmula:
\frac{3!}{1!\,1!\,1!} = \frac{6}{1\cdot1\cdot1} =6.

Resposta

O coeficiente de x\,y\,z em (x+y+z)^{3} é 6.

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