Qual o coeficiente de x^{2} y^{2} z em (x+y+z)^{5}.

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{2}y^{2}z no desenvolvimento de (x+y+z)^{5}. O conteúdo aqui é o Teorema Multinomial, que generaliza o binômio para três termos.

Passo 2

No Teorema Multinomial, o coeficiente de x^{p}y^{q}z^{r} em (x+y+z)^{n} é dado por
\frac{n!}{p!\,q!\,r!},
desde que p+q+r=n. Aqui temos n=5 e queremos p=2, q=2, r=1, pois 2+2+1=5.

Passo 3

Aplicando a fórmula multinomial:
\frac{5!}{2!\,2!\,1!}.

Passo 4

Calculamos os fatoriais:
5!=120,\quad 2!=2,\quad 1!=1,
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\frac{5!}{2!\,2!\,1!}=\frac{120}{2\cdot2\cdot1}=\frac{120}{4}=30.

Resposta

O coeficiente de x^{2}y^{2}z em (x+y+z)^{5} é 30.

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