Uma haste fina cuja seção reta é A está posicionada ao longo do eixo x de x=0 até x=L. Sabe-se que a polarização da haste ocorre ao longo de seu comprimento e é dada por P= \left(a x^{2}+b\right) \mathbf{a}_{x}. Determine:
a) A densidade volumétrica de carga ligada \left(\rho_{p v}\right);
b) A densidade superficial de carga ligada \left(\rho_{p s}\right);
c) A carga total volumétrica ligada;
d) A carga total superficial ligada;
e) A carga total ligada.

Passo 1

O enunciado descreve uma haste de comprimento \,L, e seção reta \,A, ao longo de 0\le x\le L, com polarização
P = \bigl(a x^2 + b\bigr)\,\mathbf a_x.
Vamos usar física do eletromagnetismo para cargas ligadas:
– densidade volumétrica ligada \rho_{pv} = -\nabla\!\cdot P,
– densidade superficial ligada \rho_{ps} = P\cdot\hat n na superfície.

Passo 2

Para a densidade volumétrica ligada calculamos
\nabla\!\cdot P = \frac{d}{dx}(a x^2 + b) = 2a x,
logo
\rho_{pv} = -\,\nabla\!\cdot P = -2a\,x.

Passo 3

Na superfície lateral o vetor normal é ortogonal a \mathbf a_x, então \rho_{ps}=0.
Nas faces transversais temos:
em x=L, \hat n=+\mathbf a_x
\rho_{ps}(L)=P\!\cdot\hat n = aL^2 + b;
em x=0, \hat n=-\mathbf a_x
\rho_{ps}(0)=P\!\cdot\hat n = -\bigl(a\cdot0^2 + b\bigr) = -b.

Passo 4

A carga total volumétrica ligada é
Q_{pv}=\int_V \rho_{pv}\,dV =-2a\int_{0}^{L}x\,A\,dx =-2aA\frac{L^2}{2} =-aA\,L^2.

Passo 5

A carga total superficial ligada vem só das faces de área A:
Q_{ps} =A\bigl[\rho_{ps}(0)+\rho_{ps}(L)\bigr] =A\bigl[-b + (aL^2 + b)\bigr] =aA\,L^2.

Passo 6

A carga total ligada é a soma
Q = Q_{pv} + Q_{ps} = -aA\,L^2 + aA\,L^2 = 0.

Resposta

(a) \rho_{pv} = -2a\,x.
(b) \rho_{ps}=0 na superfície lateral; \rho_{ps}(0)=-b em x=0; \rho_{ps}(L)=aL^2+b em x=L.
(c) Q_{pv}=-aA\,L^2.
(d) Q_{ps}=aA\,L^2.
(e) Q=0.

Exercícios relacionados